Αλλόκοτες επαφές

KARKAR · #1

: Αλλόκοτες επαφές.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Οι κύκλοι (O,2)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

. Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα

και

. Υπολογίστε το

, ώστε : $BA \perp TA$ και το τότε μήκος του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 11, 2023 7:20 pm
Αλλόκοτες επαφές.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα και . Υπολογίστε το , ώστε : $BA \perp TA$ και το τότε μήκος του .

Ας είναι $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τα αντιδιαμετρικά του

στους δύο κύκλους.

Κάθε μια από τις $\widehat {{\theta _1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}}$ είναι συμπλήρωμα της $\widehat {\omega _{}^{}}$ και προφανώς το ίδιο ισχύει και για την $\widehat {C_{}^{}}$ .

Αφού δε τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ βλέπουν την

υπό ορθή γωνία το τετράπλευρο ABKO

είναι

εγγράψιμο και άρα: το $\vartriangle BCK$ έχει τις παρά τη βάση του,

, γωνίες ίσες .

Έστω $E\,\,,\,\,Z$ οι προβολές των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,$ στην

. Θα είναι : $CZ = ZK\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή οι τετράδες : $\left( {C,T\backslash E,K} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,$ $\left( {O,Z\backslash T,D} \right)$ είναι αρμονικές θα έχω :

: Αλλόκοτες επαφές Κατασκευή_ok.png (33.97 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{ET}}{{EC}} = \frac{{KT}}{{KC}} \hfill \\ \frac{{TZ}}{{TO}} = \frac{{DZ}}{{DO}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow TZ = TE = \dfrac{{2R}}{{R + 2}}\,\,\,\left( 2 \right)$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει:

$R - \dfrac{{2R}}{{R + 2}} = 4 + \dfrac{{2R}}{{R + 2}} \Rightarrow {R^2} + 6R - 8 = 0$ και άρα $\boxed{R = 3 + \sqrt {17} }\,\,\,\left( 3 \right)$

Από το Θ. Ευκλείδη στα $\vartriangle ACT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BDT$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} B{T^2} = \frac{{4{R^2}}}{{R + 2}} \hfill \\ A{T^2} = \frac{{8R}}{{R + 2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A{B^2} = B{T^2} - A{T^2} = \dfrac{{4{R^2} - 8R}}{{R + 2}} = 16$ , οπότε λόγω της $\left( 3 \right)$ : $\boxed{AB = 4}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 11, 2023 7:20 pm
Αλλόκοτες επαφές.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα και . Υπολογίστε το , ώστε : $BA \perp TA$ και το τότε μήκος του .

Η

προφανώς περνά από το

και το

είναι εγγράψιμμο

Επειδή $\angle \theta + \omega =90^0 \Rightarrow \angle BKC= \omega \Rightarrow BC=BK=R$

Με $BP \bot KC \Rightarrow KP= \dfrac{R+4}{2}$ και $BK^2=KP.KO\Rightarrow R^2= \dfrac{(R+4)}{2}. (R+2) \Leftrightarrow R^2-6R-8=0 \Rightarrow R=3+ \sqrt{17}$

$CA.CB=CT.CP\Rightarrow CA.R=4. \dfrac{R+4}{2} \Rightarrow CA= \dfrac{2R+8}{R}$

Τότε $AB=R- \dfrac{2R+8}{R}= \dfrac{R^2-2R-8}{R}$ και με $R=3+ \sqrt{17} \Rightarrow AB=4$

: Αλλόκοτες επαφές.png (30.6 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Αλλόκοτες επαφές

Αλλόκοτες επαφές

Re: Αλλόκοτες επαφές

Re: Αλλόκοτες επαφές

Μέλη σε σύνδεση