Πλήθος λύσεων

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού

, βρείτε το πλήθος

των λύσεων της εξίσωσης : $\sqrt{x}+\dfrac{k}{\sqrt{x}}=(k+1)x$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 19, 2023 7:44 pm
Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , βρείτε το πλήθος

των λύσεων της εξίσωσης : $\sqrt{x}+\dfrac{k}{\sqrt{x}}=(k+1)x$

Θέτω $\displaystyle \sqrt x = t > 0 \Leftrightarrow x = {t^2}$ και είναι:

$\displaystyle (k + 1){t^3} - {t^2} - k = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} (t - 1)\left( {(k + 1){t^2} + kt + k} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1,$

δηλαδή $\boxed{x=1}$ ή $\boxed{(k+1)t^2+kt+k=0,t>0}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ Αν k=-1,

τότε

άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

$\displaystyle \bullet$ Αν $k\ne -1,$ τότε $\displaystyle \Delta = - k(3k + 4)$

I) Αν k>0

ή $k<-\dfrac{4}{3},$ η (1)

δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

ΙΙ) Αν k=0

ή $k=-\dfrac{4}{3},$ τότε t=0

ή

αντίστοιχα, οπότε η αρχική εξίσωση έχει και πάλι μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

III) Αν $\displaystyle k(k + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < k < 0,$ τότε η (1)

έχει δύο ρίζες ετερόσημες, άρα η αρχική εξίσωση έχει εκτός της x=1

και άλλη μία ρίζα, δηλαδή συνολικά δύο ρίζες.

IV) Αν $\displaystyle \Delta>0, k(k + 1) > 0 \Rightarrow -\frac{4}{3} < k < - 1,$ τότε P>0, S<0,

άρα η

έχει δύο αρνητικές ρίζες, οπότε

η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

Ανακεφαλαιώνοντας, η εξίσωση έχει δύο ρίζες όταν $\displaystyle k \in (-1,0)$ και μοναδική ρίζα όταν $k\ge 0$ ή $k\le -1.$

Αν μου έχει διαφύγει κάτι ειδοποιήστε με.

Λευτέρης Παπανικολάου · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 10:35 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 19, 2023 7:44 pm
Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , βρείτε το πλήθος

των λύσεων της εξίσωσης : $\sqrt{x}+\dfrac{k}{\sqrt{x}}=(k+1)x$
Θέτω $\displaystyle \sqrt x = t > 0 \Leftrightarrow x = {t^2}$ και είναι:

$\displaystyle (k + 1){t^3} - {t^2} - k = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} (t - 1)\left( {(k + 1){t^2} + kt + k} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1,$

δηλαδή $\boxed{x=1}$ ή $\boxed{(k+1)t^2+kt+k=0,t>0}$

$\displaystyle \bullet$ Αν τότε άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

$\displaystyle \bullet$ Αν $k\ne -1,$ τότε $\displaystyle \Delta = - k(3k + 4)$

I) Αν ή $k<-\dfrac{4}{3},$ η δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

ΙΙ) Αν ή $k=-\dfrac{4}{3},$ τότε ή αντίστοιχα, οπότε η αρχική εξίσωση έχει και πάλι μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

III) Αν $\displaystyle k(k + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < k < 0,$ τότε η έχει δύο ρίζες ετερόσημες, άρα η αρχική εξίσωση έχει εκτός της

και άλλη μία ρίζα, δηλαδή συνολικά δύο ρίζες.

IV) Αν $\displaystyle \Delta>0, k(k + 1) > 0 \Rightarrow -\frac{4}{3} < k < - 1,$ τότε άρα η έχει δύο αρνητικές ρίζες, οπότε

η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα $\boxed{x=1}$

Ανακεφαλαιώνοντας, η εξίσωση έχει δύο ρίζες όταν $\displaystyle k \in (-1,0)$ και μοναδική ρίζα όταν $k\ge 0$ ή $k\le -1.$

Αν μου έχει διαφύγει κάτι ειδοποιήστε με.

Νομίζω ότι για κ ίσο με πλην ένα προς τρία η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. Κατά τα άλλα έχω βρει τα ίδια αποτελέσματα.

Christos.N · #4

Για

η επιλογή του

δεν είναι δεσμευτική, εννοώ ότι για όλες τις τιμές της παραμέτρου η εξίσωση έχει λύση .

#5

Λευτέρης Παπανικολάου έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 1:21 pm

Νομίζω ότι για κ ίσο με πλην ένα προς τρία η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. Κατά τα άλλα έχω βρει τα ίδια αποτελέσματα.

Ναι, έχεις δίκιο.

Πλήθος λύσεων

Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Μέλη σε σύνδεση