Θέμα μιγαδικών

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακέραια. Ορίζουμε $\displaystyle{\mathrm{I}_r = \int \limits_{\partial D \left ( 0, r \right )} \frac{g(z)}{z^2-i} \, \mathrm{d}z }$ για $r \in (0,1) \cup (1, +\infty)$ . Να υπολογιστούν τα όρια:

$\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0+} \mathrm{I}_r}$
$\displaystyle{\lim_{r \rightarrow +\infty} \mathrm{I}_r}$

stranger · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 12, 2023 10:25 pm
Έστω ακέραια. Ορίζουμε $\displaystyle{\mathrm{I}_r = \int \limits_{\partial D \left ( 0, r \right )} \frac{g(z)}{z^2-i} \, \mathrm{d}z }$ για $r \in (0,1) \cup (1, +\infty)$ . Να υπολογιστούν τα όρια:

$\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0+} \mathrm{I}_r}$

$\displaystyle{\lim_{r \rightarrow +\infty} \mathrm{I}_r}$

Είναι πολύ απλή άσκηση.
Το πρώτο κάνει

γιατί για $r \in (0,1)$ το I_r

κάνει

, αφού η συνάρτηση για ολοκλήρωση είναι ολόμορφη στο D(0,s)

για κάποιο $s \in (r,1)$ .
Το δεύτερο κάνει $\pi (g(i) - g(-i))}$ .
Για να το δείξεις αρκεί να παρατηρήσεις ότι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συνάρτησης προς ολοκλήρωση στο z=i

κάνει $-\frac{g(i)}{2}i$ και στο z=-i

κάνει $\frac{g(-i)}{2}i$ .
Μετά χρησιμοποιείς ότι $\frac{1}{2 \pi i} I_r = Res(.,z=i) + Res(.,z=-i)$ από το residue theorem.

Θέμα μιγαδικών

Θέμα μιγαδικών

Re: Θέμα μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση