Πανάρρητη

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $x-1=\sqrt{x\sqrt{x}-2}+\sqrt{x}$

Δεκτές και λύσεις με χρήση "μεταγενέστερης" ύλης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 13, 2023 12:04 pm
Να λυθεί η εξίσωση : $x-1=\sqrt{x\sqrt{x}-2}+\sqrt{x}$

Δεκτές και λύσεις με χρήση "μεταγενέστερης" ύλης .

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle x - \sqrt x - 1 = \sqrt {x\sqrt x - 2} ,$ Πρέπει, $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x\sqrt x \geqslant 2 \hfill \\ x - \sqrt x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x \geqslant {\Phi ^2}$

Υψώνω στο τετράγωνο και έχω: $\displaystyle {x^2} - x + 3 = \sqrt x (3x - 2)$

Υψώνω ξανά στο τετράγωνο: $\displaystyle {x^4} - 11{x^3} + 19{x^2} - 10x + 9 = 0$

και με Horner, $\displaystyle (x - 9)({x^3} - 2{x^2} + x - 1) = 0,$ απ' όπου $\boxed{x=9}$

Η παράσταση $\displaystyle {x^3} - 2{x^2} + x - 1$ με τον περιορισμό $\displaystyle x \geqslant {\Phi ^2}$ δεν έχει ρίζες.

Πράγματι, $\displaystyle {x^3} - 2{x^2} + x - 1 = x{(x - 1)^2} - 1 \geqslant {\Phi ^2} \cdot {\Phi ^2} - 1 > 0,$ όπου $\displaystyle \Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.$

Πανάρρητη

Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Μέλη σε σύνδεση