Ανταλλαγή

mick7 · #1

Έχουμε τα δυο ποτήρια του σχήματος. Το Α έχει 100ml χυμού και το Β είναι άδειο. Μεταφέρω το 10% του χυμού που υπάρχει στο Α στο ποτήρι Β.
Μετα μεταφέρω το 10% του χυμού που υπάρχει στο ποτήρι Β πίσω στο Α.
Εάν συνεχίσω την παραπάνω διαδικασία θα αδειάσει κάποτε το ποτήρι Α...;

Henri van Aubel · #2

Edit.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 11, 2023 2:43 pm
Έχουμε τα δυο ποτήρια του σχήματος. Το Α έχει 100ml χυμού και το Β είναι άδειο. Μεταφέρω το 10% του χυμού που υπάρχει στο Α στο ποτήρι Β.
Μετα μεταφέρω το 10% του χυμού που υπάρχει στο ποτήρι Β πίσω στο Α.
Εάν συνεχίσω την παραπάνω διαδικασία θα αδειάσει κάποτε το ποτήρι Α...;

Φαίνεται ότι έχουμε δύο σειρές και μάλιστα εικάζω ότι έχουν κοινό όριο .

Το λογιστικό φύλο με κατάλληλες ρουτίνες μας δίδει μεγάλο αριθμό επαναλήψεων .

Δεν αδειάζει το ποτήρι Α ποτέ . Φαίνεται ότι έχουμε δύο σειρές που ίσως- ίσως έχουν κοινό όριο κοντά στο $\dfrac{1}{2}$ .

: extra_extra_Ανταλλαγή.png (43.75 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Πάντως η προσπάθεια να λυθεί το πρόβλημα με το νόμο της εκθετικής μεταβολής

$Q = {Q_0} \cdot {e^{ct}}$ , σκάλωσε στον προσδιορισμό του ${e^c}$ γιατί δεν προσδιόρισα ρουτίνα που να δίνει ας πούμε την τιμή ${Q_3}$

Στην πιο πάνω λύση $\left( {Henri\,\,Van\,Aubel} \right)$ , το ${\left( {\frac{{91}}{{100}}} \right)^2} = 82,91$

Το αποτέλεσμα αυτό, από το πίνακα που παραθέτω δεν υπάρχει πουθενά.

Eukleidis · #4

Ας πούμε $a_{n}$ τον όγκο του Α μετά από

βήματα της διαδικασίας και $b_{n}$ για το B.
Τότε θα είναι:
$a_{2k} =0,9a_{2k-1}$
$b_{2k} =b_{2k-1} +0,1a_{2k-1}$ όταν παίρνουμε από το Α και μεταφέρουμε στο Β και,
$a_{2k+1} =a_{2k} +0,1b_{2k}$
$b_{2k+1} =0,9b_{2k}$ όταν παίρνουμε από το Β και μεταφέρουμε στο Α.

Με αντικατάσταση για να κρατήσουμε τους περιττούς δείκτες έχουμε:
$a_{2k+1} =0,91 a_{2k-1}+0,1 b_{2k-1}$
$b_{2k+1} =0,09 a_{2k-1}+0,9 b_{2k-1}$
ή ισοδύναμα στη μορφή πίνακα
$\begin{bmatrix}a_{2k+1}\\b_{2k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0,91 & 0,1 \\0,09 & 0,9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{2k-1}\\b_{2k-1}\end{bmatrix}$

Γενική λύση:
$a_{2k+1} =- c_{1} ( \frac{81}{100} )^{2k+1} + c_{2} \frac{10}{9}$
$b_{2k+1} = c_{1} ( \frac{81}{100} )^{2k+1} + c_{2}$

Καθώς $k \rightarrow \infty$ και επειδή ο συνολικός όγκος Α και Β θα είναι σταθερός θα είναι:
$100= c_{2} + \frac{10}{9} c_{2} \Rightarrow c_{2}= \frac{900}{19}$

Άρα εν τέλει το Α θα έχει $\frac{1000}{19}$ και το Β $c_{2}= \frac{900}{19}$

#5

Eukleidis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 12, 2023 4:06 pm
Ας πούμε $a_{n}$ τον όγκο του Α μετά από βήματα της διαδικασίας και $b_{n}$ για το B.
Τότε θα είναι:
$a_{2k} =0,9a_{2k-1}$
$b_{2k} =b_{2k-1} +0,1a_{2k-1}$ όταν παίρνουμε από το Α και μεταφέρουμε στο Β και,
$a_{2k+1} =a_{2k} +0,1b_{2k}$
$b_{2k+1} =0,9b_{2k}$ όταν παίρνουμε από το Β και μεταφέρουμε στο Α.

Με αντικατάσταση για να κρατήσουμε τους περιττούς δείκτες έχουμε:
$a_{2k+1} =0,91 a_{2k-1}+0,1 b_{2k-1}$
$b_{2k+1} =0,09 a_{2k-1}+0,9 b_{2k-1}$
ή ισοδύναμα στη μορφή πίνακα
$\begin{bmatrix}a_{2k+1}\\b_{2k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0,91 & 0,1 \\0,09 & 0,9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{2k-1}\\b_{2k-1}\end{bmatrix}$

Γενική λύση:
$a_{2k+1} =- c_{1} ( \dfrac{81}{100} )^{2k+1} + c_{2} \dfrac{10}{9}$
$b_{2k+1} = c_{1} ( \dfrac{81}{100} )^{2k+1} + c_{2}$

Καθώς $k \rightarrow \infty$ και επειδή ο συνολικός όγκος Α και Β θα είναι σταθερός θα είναι:
$100= c_{2} + \dfrac{10}{9} c_{2} \Rightarrow c_{2}= \dfrac{900}{19}$

Άρα εν τέλει το Α θα έχει $\dfrac{1000}{19}$ και το Β $c_{2}= \dfrac{900}{19}$

Πολύ ωραία απάντηση .

Ο πίνακας που έχω στην προ προηγούμενη ανάρτηση επαληθεύει την λύση του Κ. Γιώργου .

Ανταλλαγή

Ανταλλαγή

Re: Ανταλλαγή

Re: Ανταλλαγή

Re: Ανταλλαγή

Re: Ανταλλαγή

Μέλη σε σύνδεση