Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

#1

Αν ο $\displaystyle{k}$ είναι θετικός ακέραιος διάφορος του $\displaystyle{7}$ , και το σύστημα:

$\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1}$

$\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0}$

έχει μόνο ακέραιες λύσεις, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y}$

(Παρατήρηση: Από το $\displaystyle{k}$ εξαιρέθηκε η τιμή $\displaystyle{7}$ για να αποφευχθούν κάποιες πράξεις).

abgd · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 8:38 pm
Αν ο $\displaystyle{k}$ είναι θετικός ακέραιος διάφορος του $\displaystyle{7}$ , και το σύστημα:

$\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1}$

$\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0}$

έχει μόνο ακέραιες λύσεις, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y}$

(Παρατήρηση: Από το $\displaystyle{k}$ εξαιρέθηκε η τιμή $\displaystyle{7}$ για να αποφευχθούν κάποιες πράξεις).

$\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1 \ \ \bf(1)}$

$\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0 \ \ \bf(2)}$

Πολλαπλασιάζοντας την $\displaystyle{\bf(1)}$ με το $\displaystyle{2}$ και προσθαφαιρώντας το $\displaystyle{y^4}$ έχουμε:

$\displaystyle{\left(y^2-2x\right)^2-y^4+8y=2(1-k) \ \ \bf(3)}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις $\displaystyle{\bf(2), \ \ \bf(3)}$ έχουμε:

$\displaystyle{\left(y^2-2x\right)^2+k\left(y^2-2x\right)=2(1-k) \ \ \bf(4)}$

Αυτή είναι εξίσωση 2ου βαθμού, ως προς $\displaystyle{y^2-2x}$ και η Διακρίνουσά της θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, εφόσον έχουμε ακέραιες τιμές για τα $\displaystyle{x,y}$

Είναι $\displaystyle{\Delta=(k-4)^2-8}$ και πρέπει $\displaystyle{(k-4)^2-8=m^2, \ \ m\in \mathbb{N} \Rightarrow (k-m-4)(k+m-4)=8}$

Θα είναι:

$\displaystyle{k-m-4=-8\wedge k+m-4=-1}$ ή

$\displaystyle{k-m-4=-4\wedge k+m-4=-2}$ ή

$\displaystyle{k-m-4=1\wedge k+m-4=8}$ ή

$\displaystyle{k-m-4=2\wedge k+m-4=4}$

Από τις ισότητες αυτές και με δεδομένο ότι $\displaystyle{k\ne7}$ προκύπτει εύκολα ότι: $\displaystyle{\bf k=1}$

Για $\displaystyle{\bf k=1}$ από την $\displaystyle{\bf(4)}$ έχουμε $\displaystyle{y^2-2x=0 }$ ή $\displaystyle{y^2-2x=-1 }$ και με τη βοήθεια της $\displaystyle{\bf(3) }$ παίρνουμε

$\displaystyle{(x,y)=(0,0) }$ ή $\displaystyle{(x,y)=(2,2) }$

Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

Re: Σύστημα με πολλές προεκτάσεις

Μέλη σε σύνδεση