Κάθετες στα κάτω άκρα

KARKAR · #1

: Κάθετες στα κάτω άκρα.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Με τα τμήματα BD , BE , BF

, διαιρέσαμε την γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου ABC

σε τέσσερα ίσα μέρη .

Η κάθετη της

στο

, τέμνει την

στο σημείο

, ενώ η κάθετη της

στο

τέμνει , την

στο

.

α) Δείξτε ότι η ημιευθεία

, διέρχεται από το σημείο

και μάλιστα είναι : $TS \perp BD$ .

β) Δείξτε ότι : DE=ES

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 10:22 am
Κάθετες στα κάτω άκρα.png Με τα τμήματα , διαιρέσαμε την γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου σε τέσσερα ίσα μέρη .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο σημείο , ενώ η κάθετη της στο τέμνει , την στο .

α) Δείξτε ότι η ημιευθεία , διέρχεται από το σημείο και μάλιστα είναι : $TS \perp BD$ .

β) Δείξτε ότι : .

Χρόνια Πολλά, Θανάση!

: Κάθετες στα κάτω άκρα.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

α) $\displaystyle B\widehat SE = S\widehat EF + S\widehat FE \Leftrightarrow 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{4} = S\widehat EF + B\widehat EA = S\widehat EF + 90^\circ - \frac{{3\widehat B}}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle S\widehat EF = \frac{{\widehat B}}{2} = D\widehat BS,$ άρα το BDES

είναι εγγράψιμο και $\boxed{B\widehat DS=90^\circ}$ (1)

$\displaystyle T\widehat FC = 180^\circ - (90^\circ + S\widehat FE) = \frac{{3\widehat B}}{4} = D\widehat BT,$ άρα και το BDFT

είναι εγγράψιμο,

δηλαδή $B\widehat DT=90^\circ}$ και από την (1)

τα σημεία

είναι συνευθειακά.

β) Προκύπτει άμεσα από την εγγραψιμότητα του BDES

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 10:22 am
Κάθετες στα κάτω άκρα.png Με τα τμήματα , διαιρέσαμε την γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου σε τέσσερα ίσα μέρη .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο σημείο , ενώ η κάθετη της στο τέμνει , την στο .

α) Δείξτε ότι η ημιευθεία , διέρχεται από το σημείο και μάλιστα είναι : $TS \perp BD$ .

β) Δείξτε ότι : .

Καλημέρα Θανάση και Γιώργο .Θανάση ΠΟΛΥΧΡΟΝΟΣ ΜΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΜΠΝΕΥΣΕΙΣ

Τα τρίγωνα BLS,BMT

είναι ισοσκελή και το τετράπλευρο ESFM

είναι εγγράψιμο άρα
$\hat{ABL}=\omega ,SM=ST,IS=IL,\hat{\varrho }=\hat{STF}=\hat{SMF},\hat{\nu }=\hat{ISE},\nu +\omega +\varrho =2\rho \Leftrightarrow \rho =\omega +\nu ,(1), \hat{DSE}+\hat{ESF}+\hat{TSF}=180,$

λόγω της (1)

Αρα τα σημεία D,S,T

είναι συνευθειακά και $IL=IS,\rho =2\nu ,\omega =\nu ,$ $BDT,90-\omega -\rho +3\omega =90\Leftrightarrow 2\omega=\rho$ ισχύει ,εχει αποδειχθεί άρα $ST\perp BD b) IDLE$ είναι εγγράψιμο συνεπώς $\hat{IDE}=\hat{ILE}=\hat{ISE}=\nu ,DE=ES$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 10:22 am
Κάθετες στα κάτω άκρα.png Με τα τμήματα , διαιρέσαμε την γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου σε τέσσερα ίσα μέρη .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο σημείο , ενώ η κάθετη της στο τέμνει , την στο .

α) Δείξτε ότι η ημιευθεία , διέρχεται από το σημείο και μάλιστα είναι : $TS \perp BD$ .

β) Δείξτε ότι : .

Οι $AD\,\,,\,\,AE\,\,,AF$ τέμνουν το ημικύκλιο διαμέτρου

στα σημεία , $N\,\,,\,\,M\,\,,\,\,Z$ . Προφανώς όλα τα κόκκινα τόξα είναι ίσα .

Επειδή $SE \bot BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM \bot BM$ έχω SE//CM

οπότε, $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ $\left( 1 \right)$ , ενώ και $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}} = 2\widehat {\omega _{}^{}}$ , άρα $\boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}}$ .

: Κάθετες στα κάτω άκρα.png (42.62 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Δηλαδή το τετράπλευρο BSED

είναι εγγράψιμο με συνέπεια $SD \bot BD$ που μου εξασφαλίζει ότι : $SD//CN\,\,\left( 2 \right)$ . Και προφανώς ED = ES

.

Αλλά το τετράπλευρο το τετράπλευρο ACZN

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε:

$\dfrac{{BD}}{{DN}} = \dfrac{{BF}}{{FZ}}$ και αφού FT//ZC

η προηγούμενη γίνεται : $\dfrac{{BD}}{{DN}} = \dfrac{{BF}}{{FZ}} = \dfrac{{BT}}{{TC}} \Rightarrow TD//CN\,\,\left( 3 \right)$ .

Δηλαδή ταυτόχρονα λόγω των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ : $\left\{ \begin{gathered} SD//CN\,\, \hfill \\ TD//CN\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι έτσι λόγω του Ευκλειδείου αιτήματος $T\,\,,\,\,S\,\,,\,\,D$ ανήκουν σε μια ευθεία .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 10:22 am
Κάθετες στα κάτω άκρα.png Με τα τμήματα , διαιρέσαμε την γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου σε τέσσερα ίσα μέρη .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο σημείο , ενώ η κάθετη της στο τέμνει , την στο .

α) Δείξτε ότι η ημιευθεία , διέρχεται από το σημείο και μάλιστα είναι : $TS \perp BD$ .

β) Δείξτε ότι : .

Με $EZ \bot BC$ , προφανώς ABZE

χαρταετός άρα $AZ \bot BE \Rightarrow AZ//EH \Rightarrow \angle SEF=2 \theta$

Έτσι, B,D,E,S

ομοκυκλικά με DE=ES

οπότε $\angle SDE= \angle DSE= \theta$

Ακόμη ,από το εγγράψιμμο $BEFH\Rightarrow \angle EBF= \angle EBH= \theta$

άρα $\angle HEF=3 \theta = \angle DBT \Rightarrow B,D,F,T$ ομοκυκλικά

Άρα $\angle FDT= \theta = \angle FDS \Rightarrow D,S,T$ συνευθειακά και $TD \bot BD$

: κάθετες στα κάτω άκρα.png (34.05 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Κάθετες στα κάτω άκρα

Κάθετες στα κάτω άκρα

Re: Κάθετες στα κάτω άκρα

Re: Κάθετες στα κάτω άκρα

Re: Κάθετες στα κάτω άκρα

Re: Κάθετες στα κάτω άκρα

Μέλη σε σύνδεση