Νεα Αποδειξη?

vaggelis05 · #1

ΑΠΕΔΕΙΞΑ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΟΣΟ ΤΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΖΕΙΣ ΘΑ ΚΑΤΑΛΗΓΕΙ ΠΑΝΤΑ ΣΤΟ 1

Το εχω τεσταρει σε 1 εκατομμυριο αριθμους και η εικασια μου υφιστανται!

#2

Καλώς όρισες στο

Πρώτα απ' όλα πρέπει να γράφουμε σωστά ελληνικά. Τονίζουμε τις λέξεις και δεν χρησιμοποιούμε μόνο κεφαλαία.

Δεύτερο δεν είναι ξεκάθαρο τι εννοείς. Τι σημαίνει «τετραγωνίζεις» έναν αριθμό; Τον υψώνεις στο τετράγωνο; Ή μήπως παίρνεις την τετραγωνική του ρίζα; Υποψιάζομαι το δεύτερο αλλά μόνο από τα συμφραζόμενα. Επίσης τι θα πει «καταλήγει στο 1»; Απέδειξες κάτι ή απλά δοκίμασες πολλούς αριθμούς και είδες με την υπολογιστική ότι μάλλον ισχύει;

Εν πάση περιπτώσει υποψιάζομαι ότι εννοείς το πιο κάτω το οποίο ισχύει και είναι γνωστό.

Έστω $a \in \mathbb{R}_{>0}$ και έστω ακολουθία (a_n)

με

και $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ για $n\geqslant 1$ . Τότε $(a_n) \to 1$ .

#3

vaggelis05 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 2:51 pm
ΑΠΕΔΕΙΞΑ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΟΣΟ ΤΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΖΕΙΣ ΘΑ ΚΑΤΑΛΗΓΕΙ ΠΑΝΤΑ ΣΤΟ 1

Το εχω τεσταρει σε 1 εκατομμυριο αριθμους και η εικασια μου υφιστανται!

Αναμφίβολα εννοείς ότι πήρες τετραγωνικές ρίζες επανειλημμένα, όπως άλλωστε επισημαίνει ο Δημήτρης στο προηγούμενο ποστ. Πέρα από την κακή διατύπωση από πλευράς Μαθηματικών (διότι μιλάς για απόδειξη με τεστάρισμα) και τα πτωχά Ελληνικά, η ουσία είναι αλλού:

Το αποτέλεσμα είναι ΠΑΣΙΓΝΩΣΤΟ και υπάρχει σε ΟΛΑ μα ΟΛΑ τα βιβλία Ανάλυσης. Η σωστή του (και πληρέστερη) μορφή είναι $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \sqrt [n] a=1.}$ Η απόδειξή του είναι απλή και υπάρχει στα εν λόγω βιβλία. Βγαίνει άλλωστε απλά με την ύλη Λυκείου. Ένας τρόπος είναι με εφαρμογή του Κανόνα L' Hospital, αλλά γίνεται και αλλιώς.

Και ένα τελευταίο.

Προφανώς χρησιμοποίησες το κομπιουτεράκι σου πατώντας ξανά και ξανά το κουμπί της τετραγωνικής ρίζας. Σε αυτή την περίπτωση το κομπιουτεράκι ΔΕΝ βρίσκει, γενικά, την ακριβή τετραγωνική ρίζα αλλά μία προσσέγγισή της με πολλά (συνήθως καμιά δεκαριά) δεκαδικά ψηφία. Έτσι το μεν κομπιουτεράκι σου κάποτε θα στρογγυλοποιήσει το αποτέλεσμα σε ακριβώς

. Πλην όμως αν ξεκινήσεις με αριθμό N>1

, το αποτέλεσμα δεν είναι ΠΟΤΕ μα ΠΟΤΕ ίσο με

(απλή άσκηση). Το κομπιουτεράκι σου γράφει

αλλά η σωστή απάντηση δεν είναι αυτή.

Αν έκανες το τέστ με ένα εκατομμύριο αριθμούς, όπως δηλώνεις, τότε έκανες τζάμπα κόπο, με το παραπάνω, γιατί θα αρκούσε μόνο ο τελευταίος και μεγαλύτερος. Για τους υπόλοιπους βγαίνει από το κριτήριο παρεμβολής.

Γενική αποτίμηση: Άνθρακες ο θησαυρός.

karalbi · #4

Και γω έχω αποδείξει οτι 1=2
Έστω α=β
$\alpha ^{2}=\alpha \cdot \beta$
\alpha ^{2}-\beta ^{2}= $\alpha \cdot \beta -\beta ^{2}$
$\left ( \alpha -\beta \right )\cdot \left ( \alpha +\beta \right )=\beta \cdot \left (\alpha -\beta \right )$

διαιρούμε κατά μέλη με το $\left ( \alpha -\beta \right )$
οπότε $\left (\alpha +\beta \right )= \beta$
και αφού $\alpha = \beta$
έχουμε $2\cdot \beta = \beta$
άρα 2=1

vaggelis05 · #5

Ναι αλλα η αποδειξη για καθε 0<n<1 υπαρχει γιατι απεδειξα και αυτο! Μεσω προγραμματος

#6

vaggelis05 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 10:03 am
Ναι αλλα η αποδειξη για καθε 0<n<1 υπαρχει γιατι απεδειξα και αυτο! Μεσω προγραμματος

Μου φαίνεται δεν έχεις κατανοήσει τι προσπαθούμε να σου πούμε παραπάνω. Πρώτα απ' όλα ακόμα μπερδεύεις τι θα πει απόδειξη και τι έλεγχος με το προσεγγιστικό κομπιουτεράκι. Κάνε ακόμη μία προσπάθεια να κατανοήσεις τι σου λέμε.

Επίσης, ας προσθέσω ότι η περίπτωση 0<n<1

είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια από πλευράς Μαθηματικών με την N>1

και εξ ίσου πασίγνωστη. Άλλωστε μπορείς εύκολα να ανάγεις την μία περίπτωση στην άλλη. Για παράδειγμα, αν το έχεις αποδείξει για την περίπτωση Ν>1

και τώρα μελετάς την 0<n<1

, πάρε $N = \frac {1}{n}$ . Αφού το πολλαπλό πάτημα του κουμπιού της τετραγωνικής ρίζας στο κομπιουτεράκι, αρχίζοντας από το

, τείνει στο

τότε για την περίπτωση του 0<n<1

θα τείνει στο $\frac {1}{1}$ , που φυσικά ισούται με

.

Η ουσία είναι ότι έκανες πολύ κόπο (δεδομένου ότι το έλεγξες, όπως λες, για ένα εκατομμύριο περιπτώσεις) για αυτονόητα θέματα. Μία αρκούσε αλλά και πάλι ο συλλογισμός σου είναι ΕΛΛΕΙΠΕΣΤΑΤΟΣ. Από πλευράς σου δεν υπάρχει απόδειξη αλλά μόνο πρόχειρος, προσεγγιστικός έλεγχος με το κομπιουτεράκι. Το αποτέλεσμα είναι μεν σωστό (αλλά απλό και γνωστό) όμως όχι για τους λόγους που νομίζεις.

ΚΑΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΑΒΩ: Αφού τα Μαθηματικά που γράφεις είναι εσφαλμένα (συγχωρετέο), κάνε σε παρακαλώ τουλάχιστον την προσπάθεια να γράφεις σωστά Ελληνικά. Σου το είπαμε δύο φορές. Τα κραυγαλέα λάθος Ελληνικά δεν συγχωρούνται.

vaggelis05 · #7

Ωραια κοινοτητα ειστε εσεις ουτε σεβεστε ουτε τίποτα την προσπαθεια του αλλου

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #8

vaggelis05 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 11:52 am
Ωραια κοινοτητα ειστε εσεις ουτε σεβεστε ουτε τίποτα την προσπαθεια του αλλου

Λυπάμαι, αλλά κι εσύ δεν καταλαβαίνεις τι είναι σωστό, τι είναι απόδειξη, τι δεν είναι απόδειξη, τι είναι ένδειξη και τι δεν είναι...

#9

vaggelis05 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 11:52 am
Ωραια κοινοτητα ειστε εσεις ουτε σεβεστε ουτε τίποτα την προσπαθεια του αλλου

Δεν είναι θέμα (μη) σεβασμού αλλά θέμα του πως κάνουμε μαθηματικά. Οι κανόνες του «παιγνιδιού» είναι αυστηροί και δεν μπορούμε να παρεκκλίνουμε.

Όταν λοιπόν λέμε «Για κάθε x > 0

ισχύει το τάδε», πρέπει να το αποδείξουμε για τις άπειρες τιμές του

. Όχι μόνο για μερικές. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι υπολογιστές δεν χρησιμεύουν.

Επίσης η γλώσσα που χρησιμοποιούμε είναι αυστηρή. Στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν καταλήγουμε ποτέ στο 1 αλλά μπορούμε να φτάσουμε οσοδήποτε κοντά στο 1 θέλουμε. Στην ορολογία των Μαθηματικών λέμε ότι το όριο είναι ίσο με 1. Η έννοια του ορίου είναι δυσνόητη. Διδάσκεται κάπως στη Β' και Γ' Λυκείου αλλά πλήρως συνήθως διδάσκεται μόνο στο Πανεπιστήμιο και μόνο σε τμήματα Μαθηματικών.

Οπότε επαναλαμβάνω ότι το θέμα μας είναι ότι από τη μία δείχνεις πεπεισμένος ότι απέδειξες κάτι και από την άλλη αγνοείς τους κανόνες απόδειξης στον συγκεκριμένο τομέα. Είναι σαν να πας σε μια κοινότητα σκακιστών, να τους πεις ότι βρήκες πως να κερδίζεις στο σκάκι και επί της ουσίας να μην ξέρεις π.χ. πως κινείται ο ίππος.

Εν πάση περιπτώσει, νομίζω το εξαντλήσαμε το θέμα. Προς το παρόν δεν το κλειδώνω αλλά αν δω ότι ξεφεύγει η συζήτηση θα αναγκαστώ να το κλειδώσω.

KARKAR · #10

Μπορείτε να απολαύσετε μια προσέγγιση ( και μάλιστα για αύξον υπόρριζο ) στο βιντεάκι αυτό .

KARKAR · #11

Για σταθερό

, σκέψου ότι : $\sqrt[n]{a}=a^{^{\frac{1}{n}}}=e^{^{\frac{lna}{n}}}$ και ο τελευταίος εκθέτης τείνει στο

...

#12

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 12:51 pm
Μπορείτε να απολαύσετε μια προσέγγιση ( και μάλιστα για αύξον υπόρριζο ) στο βιντεάκι αυτό .

Θανάση, ευχαριστούμε.

Ας προσθέσω ότι το βιντεάκι έχει την στάνταρ απόδειξη, γνωστή και κοινή που υπάρχει σε όλες τις Αναλύσεις. Μάλιστα έχει ισχυρότερο αποτέλεσμα από αυτό που γράφει ο μαθητής.

Είναι ευχάριστο που ο ίδιος ασχολήθηκε με ένα θέμα έξω από τα σχολικά Μαθηματικά (προσθέτω ότι κάποτε το θέμα ήταν μέσα στα Σχολικά Μαθηματικά, το μελετούσαν οι μαθητές σε όλη την Ελλάδα, αλλά αργότερα βγήκε από την ύλη). Από την άλλη είναι κρίμα που ο μαθητής δεν μπόρεσε να κερδίσει από τις υποδείξεις μας που επισημαίνουν (και δείχνουν το σημείο) ότι η φερόμενη ως απόδειξή του είναι προβληματική. Ίσως αργότερα, όταν οι Μαθηματικές του βάσεις γίνουν ισχυρότερες (το ευχόμαστε και τον ενθαρρύνουμε) να μπορέσει να κατανοήσει τα σημεία. Για την ώρα, δεν κατάφερε να κατανοήσει ούτε την συμβουλή μας να γράφει σωστά Ελληνικά. Εμείς με την σειρά μας δεν θα σταματήσουμε να δίνουμε εκείνες τις συμβουλές από τις οποίες μόνο όφελος έχουν οι μαθητές μας, όσο και αν αντιστέκονται οι ίδιοι.

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 1:01 pm
Για σταθερό , σκέψου ότι : $\sqrt[n]{a}=a^{^{\frac{1}{n}}}=e^{^{\frac{lna}{n}}}$ και ο τελευταίος εκθέτης τείνει στο ...

.
Θανάση, σωστά. Ευχαριστούμε και πάλι.

Αυτή είναι μία από τις πολλές αποδείξεις, και μάλιστα είναι από τις πιο απλές (το μόνο μη τετριμμένο σημείο είναι, γνωστότατο άλλωστε, η συνέχεια της εκθετικής συνάρτησης στο

). Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις. Όπως έγραψα:
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 4:28 pm

Το αποτέλεσμα είναι ΠΑΣΙΓΝΩΣΤΟ και υπάρχει σε ΟΛΑ μα ΟΛΑ τα βιβλία Ανάλυσης. Η σωστή του (και πληρέστερη) μορφή είναι $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \sqrt [n] a=1.}$ Η απόδειξή του είναι απλή και υπάρχει στα εν λόγω βιβλία. Βγαίνει άλλωστε απλά με την ύλη Λυκείου. Ένας τρόπος είναι με εφαρμογή του Κανόνα L' Hospital, αλλά γίνεται και αλλιώς.

KARKAR · #14

Θέλω να γράψω κάτι στον φίλο ¨ vaggelis05

.

Όταν ήμουν στην πρώτη Γυμνασίου , είχα παρατηρήσει το εξής :

5^2-4^2=9=5+4 ,

κ.λ.π.

Είχα τόσο ενθουσιαστεί νομίζοντας ότι βρήκα κάτι σπουδαίο .

Το ανέφερα στον καθηγητή μου , ο οποίος με συνεχάρη για την ωραία παρατήρηση αλλά μου είπε ότι αργότερα θα

αντιληφθείς ότι η παρατήρησή σου , είναι μια απλή εφαρμογή της ταυτότητας : " Διαφορά τετραγώνων" .

Ένιωσα κάποια απογοήτευση , όμως σύντομα κατάλαβα , ότι αυτό έπρεπε να μου πει ...

Νεα Αποδειξη?

Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Re: Νεα Αποδειξη?

Μέλη σε σύνδεση