Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

#1

Έστω $a_0,\, a_1,\, ... \, , \, a_k$ πραγματικοί αριθμοί με a_1+a_2+...+a_k=0

. Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (a_0\sqrt [3]{n} +a_1\sqrt [3]{n+1} +a_2\sqrt [3]{n+2} +...+a_k\sqrt [3]{n+k} )}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 10:31 am
Έστω $a_0,\, a_1,\, ... \, , \, a_k$ πραγματικοί αριθμοί με . Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (a_0\sqrt [3]{n} +a_1\sqrt [3]{n+1} +a_2\sqrt [3]{n+2} +...+a_k\sqrt [3]{n+k} )}$

Είναι $a_0=-(a_1+\ldots+a_k)$ , οπότε

$\displaystyle{\displaystyle a_0\sqrt [3]{n} +a_1\sqrt [3]{n+1} +a_2\sqrt [3]{n+2} +...+a_k\sqrt [3]{n+k}=\sum_{i=1}^k a_i(\sqrt[3]{n+i}-\sqrt[3]{n})}$

Για κάθε

, έχουμε

$\displaystyle{a_i(\sqrt[3]{n+i}-\sqrt[3]{n})=\dfrac{a_i((n+i)-n)}{\sqrt[3]{n+i}^2+\sqrt[3]{n+i} \cdot \sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^2}=\dfrac{ia_i}{\sqrt[3]{n+i}^2+\sqrt[3]{n+i} \cdot \sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^2} \rightarrow 0,}$

όταν $n \rightarrow +\infty$ , καθώς ο παρονομαστής τείνει στο $+\infty$ . Αφού λοιπόν στο πιο πάνω άθροισμα έχουμε

όρους (ανεξάρτητο του

) και κάθε ένας τείνει στο

, και το όριο θα ισούται με

.

#3

Γεια σας
Χάριν ποικιλίας. Έστω

με

. Είναι
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{0}\left( n\right) ^{p}+a_{1}\left( n+1\right) ^{p}+a_{2}\left( n+2\right) ^{p}+..+a_{k}\left( n+k\right) ^{p}=$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{0}+a_{1}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{p}+a_{2}\left( 1+\frac{2}{n}\right) ^{p}+..+a_{k}\left( 1+\frac{k}{n}\right) ^{p}}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{p}}\,\,\,(\ast )$ .
Αλλά
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{a_{0}+a_{1}\left( 1+x\right) ^{p}+a_{2}\left( 1+2x\right) ^{p}+..+a_{k}\left( 1+kx\right) ^{p}}{x^{p}}\underset{\frac{0}{0}}{=}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{a_{1}\left( 1+x\right) ^{p-1}+2a_{2}\left( 1+2x\right) ^{p-1}+..+ka_{k}\left( 1+kx\right) ^{p-1}}{x^{p-1}}=$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{1-p}\left( a_{1}\left( 1+x\right) ^{p-1}+2a_{2}\left( 1+2x\right) ^{p-1}+..+ka_{k}\left( 1+kx\right) ^{p-1}\right) =0$
Άρα το όριο $(\ast)$ είναι μηδέν. Για $p=\frac{1}{3}$ έχουμε ότι και το δοθέν όριο είναι μηδέν.

Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Re: Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Re: Όριο ακολουθίας με παραμέτρους

Μέλη σε σύνδεση