Εκθετική εξίσωση

#1

Να λυθεί η εξίσωση 3^x+x=4^x

.

Καλά, η x=1

είναι ρίζα που την βλέπεις από μακριά αλλά, αν μπορείς, βρες μου και άλλη.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 10:42 am
Να λυθεί η εξίσωση .

Καλά, η είναι ρίζα που την βλέπεις από μακριά αλλά, αν μπορείς, βρες μου και άλλη.

Και την

τη βλέπεις από μακριά.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 10:59 am
Και την τη βλέπεις από μακριά.

Ωραία. Ας τις βρούμε τώρα όλες. Μπορούμε να βρούμε άλλες;

Maria-Eleni Nikolaou · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 11:18 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 10:59 am
Και την τη βλέπεις από μακριά.
Ωραία. Ας τις βρούμε τώρα όλες. Μπορούμε να βρούμε άλλες;

Είναι:

. Έστω $f(x)=x^a ,\,\,\,a \in \mathbb{R}$ . Τότε ${f}'(x)=ax^{a-1}$
Η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [3,4]

όποτε $\exists \xi \in(3,4): {f}'(\xi)=\dfrac{4^a-3^a}{4-3}$
Αρκεί να λύσουμε: ${f}'(\xi)=a \Leftrightarrow a{\xi}^{a-1}=a \Leftrightarrow a({\xi}^{a-1}-1)=0 \Leftrightarrow a=0 \,\,\, \vee \,\,\,a=1$

Ορέστης Λιγνός · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 10:42 am
Να λυθεί η εξίσωση .

Καλά, η είναι ρίζα που την βλέπεις από μακριά αλλά, αν μπορείς, βρες μου και άλλη.

Όποιος δεν έχει μυαλό (ποστ #4) έχει πόδια

Πρώτα θα λύσουμε την εξίσωση για $x \geq 0$ , και μετά για x<0

.

Μέρος 1: Αν $x \geq 0$ , τότε θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=4^x-3^x-x

. Είναι,

$f'(x)=4^x\ln 4-3^x \ln 3-1$ και

$f''(x)=4^x(\ln 4)^2-3^x(\ln 3)^2>0,$

οπότε f''(x)>0

και άρα η

είναι γνησίως αύξουσα. Επιπλέον, είναι

$f'(0)=\ln 4-\ln 3-1=\ln(\dfrac{4}{3})-1<\ln e -1=0$ , και

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} (4^x\ln 4-3^x\ln 3-1)=+\infty$ , καθώς

$4^x \ln 4 - 3^x \ln 3=3^x\ln3 (\dfrac{\ln 4}{\ln3} \cdot(\dfrac{4}{3})^x-1) \rightarrow +\infty$ .

Επομένως, αφού $f'(x) \rightarrow +\infty$ για $x \rightarrow +\infty$ , υπάρχει $\alpha >0$ με $f'(\alpha)>0$ . Επομένως $f'(0)f'(\alpha)<0$ , άρα από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα της

στο $(0,\alpha) \subseteq (0,+\infty)$ . Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα αυτή η ρίζα - έστω $\xi$ - είναι μοναδική.

Άρα, για $x \in [0,\xi]$ , είναι $f'(x) \leq 0$ , δηλαδή η

είναι γνησίως φθίνουσα και για $x \in (\xi,+\infty)$ , είναι f'(x)>0

, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα.

Συνεπώς, η

έχει το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα $[0,\xi] \cup (\xi,+\infty)=[0,+\infty)$ . Αφού τα

και

είναι ρίζες της

, είναι και οι μοναδικές.

Μέρος 2: Αν x<0

, τότε θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=4^x-3^x

και δείχνουμε ότι είναι πάνω από την εφαπτομένη της στο (0,0)

, δηλαδή την ευθεία $y=\ln(\dfrac{4}{3})x$ . Αυτό άμεσα θα δώσει ότι δεν υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης g(x)=x

για

, καθώς

$g(x) \geq \ln(\dfrac{4}{3})x >x,$

όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι $\ln(\dfrac{4}{3})<1$ και x<0

.

Αρκεί να αποδείξουμε, λοιπόν, ότι $g(x)=4^x-3^x \geq \ln(\dfrac{4}{3})x$ , ή ισοδύναμα ότι $4^x-3^x \geq x\ln4-x \ln3$ , δηλαδή ότι $4^x-x\ln4 \geq 3^x-x\ln 3$ . Σταθεροποιούμε το χ<0

. Έστω η συνάρτηση $h(u)=u^x-x \ln u$ , με u>1

. Είναι,

$h'(u)=xu^{x-1}-\dfrac{x}{u}=\dfrac{xu^x-x}{u}=\dfrac{x(u^x-1)}{u} >0,$

οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Αφού 4>3>1

, είναι λοιπόν

$h(4)>h(3) \Leftrightarrow 4^x-x\ln 4 >3^x-x\ln3$ ,

όπως θέλαμε να αποδείξουμε.

Συνολικά, μόνες ρίζες οι x=0

και

.

abgd · #6

Διαφορετικά αλλά πάλι... με τα πόδια!!

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=4^x-3^x-x, \ \ x\in \mathbb{R}$ . Είναι,

$f'(x)=4^x\ln 4-3^x \ln 3-1$ και

$\displaystyle {f''(x)=4^x(\ln 4)^2-3^x(\ln 3)^2}$ η οποία έχει μοναδική ρίζα την $r=\frac{2}{ln(4/3)}}ln\frac{ln3}{ln4}, \ \ r<0}$ εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσημο.

Έτσι, η $\displaystyle{f^{\prime}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[r,0]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(-\infty, r]}$ ,

οπότε

$\displaystyle{f^{\prime}(x)<max\{f^{\prime}(0),\lim_{x\to -\infty}f^{\prime}(x)\}<0, \ \ \forall x<0}$

Συνεπώς η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(-\infty, 0]}$ και θα είναι: $\displaystyle{f(x)>f(0)=0, \ \ \forall x<0}$

Αν τώρα υποθέσουμε ότι η $\displaystyle{f}$ έχει και τρίτη ρίζα εκτός από το $\displaystyle{0}$ και το $\displaystyle{1}$ , τότε αυτή θα πρέπει να είναι θετική.

Εύκολα τώρα, με τη βοήθεια του θεωρήματος Rolle, συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{f^{\prime}^{\prime}}$ θα έχει μία θετική ρίζα, το οποίο είναι άτοπο.

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση