Η στρυφνή.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 445.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές

Καλησπέρα.

Ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα, δίνω μία γεωμετρική προσέγγιση.

Θεωρούμε το περίκεντρο

του $\vartriangle ABC$

Είναι $\angle ACO=5^\circ=\angle ACD\Rightarrow D,O,C$ συνευθειακά

Συνεπώς έχουμε $\angle AOD=10^\circ,\angle BOD=\angle BDO=70^\circ,\angle DBO=40^\circ,\angle ABD=10^\circ$

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο $\vartriangle OBE$ στο εξωτερικό του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle AOB$

Το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABE$ και άρα $\angle BAE=30^\circ\Rightarrow \boxed{\angle AEB=40^\circ}(1)$

Επιπλέον είναι BD=BE

και $\angle DBE=100^\circ,$ άρα $\boxed{\angle DEB=40^\circ}(2)$

Από $\left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )$ προκύπτει ότι A,D,E

συνευθειακά

Οπότε $\boxed{\theta =30^\circ}$

Ελπίζω να σας άρεσε, καλό βράδυ!!

Φανης Θεοφανιδης · #3

Θέλω να μου εξηγήσεις γιατί $\angle ACO=5^{0}.$

Henri van Aubel · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 03, 2022 8:32 pm
Κώστα θέλω να μου εξηγήσεις γιατί $\angle ACO=5^{0}.$

Γιατί το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ και άρα $\angle AOC=2\cdot \angle ABC=2\cdot 85^\circ=170^\circ$

Συνεπώς είναι $\displaystyle \angle ACO=\frac{180^\circ-\angle AOC}{2}=\frac{180^\circ-170^\circ}{2}=5^\circ$

Φανης Θεοφανιδης · #5

#6

Η στρυφνή

Οι γωνίες στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ των τριγώνων , $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBC$ είναι αντίστοιχα : $\widehat {BAC} = 55^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDC} = 70^\circ$ .

Αν γράψω τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ κ έχει κέντρο

θα είναι $\vartriangle KBC \to \left( {110^\circ ,35^\circ ,35^\circ } \right)$ αφού η $\widehat {BKC} = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$ ως επίκεντρη .

Αναγκαστικά λοιπόν το κέντρο

ανήκει στην

. Μετά απ’ αυτά αβίαστα έχω :

$\vartriangle BKD \to \left( {40^\circ ,70^\circ ,70^\circ } \right)$ και άρα , KA = KB = KC = BD

. Τώρα τα τρίγωνα : $ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADK$ έχουν:

: Η Στρυφνή.png (52.87 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

$BD = AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ABD} = \widehat {AKD} = 10^\circ$ αλλά προφανώς δεν είναι ίσα , οπότε ( έμμεσο κριτήριο) αναγκαστικά : $\boxed{\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\phi _{}^{}} = 180^\circ \,\,\left( 1 \right)}$ .

Όμως έχω ακόμα, $\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\omega _{}^{}} = 55^\circ \,\,\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {\phi _{}^{}} + \widehat {\omega _{}^{}} + 10^\circ = 180^\circ \,\,\left( 3 \right)$

Στις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ εξισώνω τα δεύτερα μέλη οπότε, $\widehat {\theta _{}^{}} - \widehat {\omega _{}^{}} = 10^\circ$ οπότε λόγω της $\left( 2 \right)$ , $2\widehat {\theta _{}^{}} = 60^\circ \Leftrightarrow \boxed{\widehat {\theta _{}^{}} = 30^\circ }$ .

Η στρυφνή.

Η στρυφνή.

Re: Η στρυφνή.

Re: Η στρυφνή.

Re: Η στρυφνή.

Re: Η στρυφνή.

Re: Η στρυφνή.

Μέλη σε σύνδεση