Τμηματική ισότητα

#1

: Τμηματική ισότητα...png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Έστω

το περίκεντρο και

η διάμεσος τριγώνου ABC.

Ο κύκλος με διάμετρο την

και ο κύκλος που

διέρχεται από τα σημεία B, O, C

τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

Αν οι

τέμνονται στο

να δείξετε ότι KA=KC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 2:06 pm
Τμηματική ισότητα...png
Έστω το περίκεντρο και η διάμεσος τριγώνου Ο κύκλος με διάμετρο την και ο κύκλος που

διέρχεται από τα σημεία τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο Αν οι τέμνονται στο

να δείξετε ότι

: Τμηματική ισότητα.png (36.66 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Έστω

το σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου

με την

. Προφανώς $OZ\bot AB$ (λόγω της διαμέτρου) και

το μέσο της

(

απόστημα στη χορδή

του $\left( O \right)$ ) και $OM\bot BC$ (απόστημα στη χορδή

, αφού

το μέσο της) και ας είναι F,E

οι ορθές προβολές του

στις

αντίστοιχα.

Στο τρίγωνο $\vartriangle KAB$ η

είναι ο προβολή της διαμέσου του

στην πλευρά του

και συνεπώς σύμφωνα με το 2ο Θεώρημα των διαμέσων θα ισχύει: $\left| K{{A}^{2}}-K{{B}^{2}} \right|=2AB\cdot FZ:\left( 1 \right)$ και ομοίως από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $\vartriangle KBC$ θα έχουμε $\left| K{{C}^{2}}-K{{B}^{2}} \right|=2BC\cdot EM:\left( 2 \right)$ . Με $KA=KC={{R}_{\left( O \right)}}$ προκύπτει ότι τα πρώτα μέλη των ως άνω ισοτήτων είναι ίσα άρα $2AB\cdot FZ=2BC\cdot EM\Rightarrow \dfrac{FZ}{EM}=\dfrac{BC}{AB}:\left( 3 \right),\left( * \right)$

Από τη σχέση $\left( 3 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $OK\bot AC$ και επειδή διέρχεται από το κέντρο του περίκυκλου $\left( O \right)$ του $\vartriangle ABC$ θα είναι μεσοκάθετος της $AC\Rightarrow KA=KC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\left( * \right)$ Στα παραπάνω υποθέσαμε ότι το τρίγωνο είναι σκαληνό. Αν είναι ισοσκελές η πρόταση είναι προφανής

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 2:06 pm
Τμηματική ισότητα...png
Έστω το περίκεντρο και η διάμεσος τριγώνου Ο κύκλος με διάμετρο την και ο κύκλος που

διέρχεται από τα σημεία τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο Αν οι τέμνονται στο

να δείξετε ότι

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο $\left( {B,O,C} \right)$ .Έστω τώρα

το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( O \right)$ με την

.

Επειδή $OD \bot DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD \bot DG$ τα $GB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,GC$ είναι εφαπτόμενα τμήματα στον $\left( O \right)$ και το τετράπλευρο ABEC

είναι αρμονικό .

Το

είναι και μέσο της χορδής

. Οι $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ είναι οι συμετροδιάμεσοι από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στα $\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle CAE$ .

: Τμηματική ισότητα.png (37.62 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Έτσι έχω: $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}}$ και αφού $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_5}}$ (βαίνουν στο ίδιο τόξο ) θα είναι :

$\boxed{\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}}} \Leftrightarrow \boxed{KA = KC}$

#4

Αφού ευχαριστήσω για μία ακόμη φορά τους Μεγάλους Γεωμέτρες Στάθη και Νίκο , που
τιμούν με τις λύσεις τους τα θέματα που προτείνω, θα δώσω μία άλλη προσέγγιση.

$\boxed{A\widehat BD + B\widehat AD = 180^\circ - A\widehat DB}$ (1)

: A-Dumpty.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

$\displaystyle A\widehat DB = 360^\circ - 90^\circ - B\widehat DC - C\widehat DO = 270^\circ - 2\widehat A - C\widehat BO = 270^\circ - 2\widehat A - \left( {90^\circ - \widehat A} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow A\widehat DB = 180^\circ - \widehat A\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} A\widehat BD + B\widehat AD = \widehat A \Leftrightarrow$ $\boxed{A\widehat BD = D\widehat AC}$ και ομοίως $\boxed{B\widehat AD = D\widehat CA}$

$\displaystyle B\widehat DE = A\widehat BD + B\widehat AD = D\widehat AC + A\widehat CD = E\widehat DC,$ άρα η

είναι διχοτόμος του BDC.

Από τα όμοια τρίγωνα ADB, ADC

είναι $\displaystyle \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BD}}{{DC}},$ άρα η

είναι

η

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC

και $\displaystyle A\widehat CD = B\widehat AE = M\widehat AC \Leftrightarrow$ $\boxed{KA=KC}$

Τμηματική ισότητα

Τμηματική ισότητα

Re: Τμηματική ισότητα

Re: Τμηματική ισότητα

Re: Τμηματική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση