ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Aladdin · #1

Δίνεται

συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με $f(\alpha ) = f(\beta ) = 0$ και τέτοια ώστε

γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι f(x) > 0

για κάθε $x \in (\alpha ,\beta )$
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ${x_0} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $f({x_0})$ μέγιστο της

στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν ${x_1},{x_2} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $f'({x_1}) - f'({x_2}) \ge \frac{{4f({x_0})}}{{\beta - \alpha }}$
γ) Δίνεται ακόμη ότι η

είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ με $f''(\xi ) < 0$ και $f(x) + f''(\xi ){\left[ {\frac{{\beta - \alpha }}{2}} \right]^2} \le 0$

#2

Επαναφορά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 9:30 pm
Δίνεται συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με $f(\alpha ) = f(\beta ) = 0$ και τέτοια ώστε γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι για κάθε $x \in (\alpha ,\beta )$
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ${x_0} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $f({x_0})$ μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν ${x_1},{x_2} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $f'({x_1}) - f'({x_2}) \ge \frac{{4f({x_0})}}{{\beta - \alpha }}$
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ με $f''(\xi ) < 0$ και $f(x) + f''(\xi ){\left[ {\frac{{\beta - \alpha }}{2}} \right]^2} \le 0$

Θα κάνω το γ) και μάλιστα βελτιωμένο.
Αρκεί να δειχθεί ότι

$\displaystyle f(x_0) + f''(\xi ){\left[ {\frac{{b - a }}{2}} \right]^2} \le 0$

Θεωρούμε την $\displaystyle g(t)=f(t)-f(x_0)\frac{(t-a)(t-b)}{(x_0-a)(x_0-b)}$

Είναι $\displaystyle g(x_0)=g(a)=g(b)=0$

Με δύο Rolle για την

και ένα για την

έχουμε ότι υπάρχει $\xi$ με $g''(\xi)=0$
Αρα

$\displaystyle f(x_0)=(x_0-a)(x_0-b)\frac{f''(\xi )}{2}=-(x_0-a)(b-x_0)\frac{f''(\xi )}{2}$

Το $\displaystyle f''(\xi )\leq 0$ γιατί είναι $\displaystyle f(x_0)>0$
(δεν χρειάζεται η μονοτονία της παραγώγου .Αρκεί η μέγιστη τιμή να είναι θετική)

Επειδή $\displaystyle (x_0-a)(b-x_0)\leq (\frac{b-a}{2})^2$

παίρνουμε ότι $\displaystyle f(x_0) + f''(\xi )\frac{(b-a)^2}{8} \le 0$

που είναι ισχυρότερη από αυτή που θέλουμε να δείξουμε.

stranger · #4

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 9:30 pm
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ${x_0} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $f({x_0})$ μέγιστο της στο (α, β).

Από Rolle υπάρχει σημείο μηδενισμού της παραγώγου στο (a,b)

το οποίο είναι μοναδικό επειδή η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.
Ως γνησίως φθίνουσα η παράγωγος είναι θετική αριστερά του σημείου μηδενισμού και αρνητική δεξία.
Οπότε το μοναδικό σημείο μηδενισμού της f{'}

είναι θέση ολικού μεγίστου.
Από Fermat κάθε άλλη θέση ολικού μεγίστου είναι ρίζα της παραγώγου.
Άρα αφού η παράγωγος έχει μοναδική ρίζα δεν υπάρχει άλλο ολικό μέγιστο.

ΥΓ: Πρώτη φορά στη ζωή μου κάνω μαθηματική απόδειξη χρησιμοποιώντας δυο μαθηματικά σύμβολα και τα υπόλοιπα με λόγια

stranger · #5

Για το α)
Αν υπήρχε ρίζα της

στο

τότε η παράγωγός της θα είχε δύο ρίζες στο (a,b)

, το οποίο είναι άτοπο επειδή η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.
Άρα $f(x) \neq 0$ για

στο

.
Άρα από συνέχεια θα είναι η παντού θετική η παντού αρνητική στο (a,b)

.
Αν ήταν παντού αρνητική δεν θα μπορούσε να έχει ολικό μέγιστο(γιατί;), που έχει από την προηγούμενή μου ανάρτηση.

abgd · #6

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 9:30 pm
Δίνεται συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με $f(\alpha ) = f(\beta ) = 0$ και τέτοια ώστε γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι για κάθε $x \in (\alpha ,\beta )$
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ${x_0} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $f({x_0})$ μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν ${x_1},{x_2} \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $f'({x_1}) - f'({x_2}) \ge \frac{{4f({x_0})}}{{\beta - \alpha }}$
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ με $f''(\xi ) < 0$ και $f(x) + f''(\xi ){\left[ {\frac{{\beta - \alpha }}{2}} \right]^2} \le 0$

Για το β ii)

Από Θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν $\displaystyle{x_1 \in (a,x_0), \ \ x_2 \in (x_0,b)}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f^{\prime}(x_1)=\frac{f(x_0)}{x_0-a}, \ \ f^{\prime}(x_2)=-\frac{f(x_0)}{b-x_0}}$

Άρα

$\displaystyle{f^{\prime}(x_1)- f^{\prime}(x_2)=\frac{f(x_0)}{x_0-a}+\frac{f(x_0)}{b-x_0}=f(x_0)\frac{x_0-a+b-x_0}{(x_0-a)(b-x_0)}}$

Αν $\displaystyle { x_0-a=k, \ \ b-x_0=m}$ τότε

$\displaystyle { k, \ \ m}$ θετικοί και

$\displaystyle { (k+m)^2\geq 4km \Rightarrow \frac{k+m}{km}\geq \frac{4}{k+m}\Rightarrow \boxed{\frac{x_0-a+b-x_0}{(x_0-a)(b-x_0)}\geq \frac{4}{b-a}}}$

Επειδή $\displaystyle{f(x_0)>0}$ το ζητούμενο έπεται.

ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Μέλη σε σύνδεση