Εξίσωση στους ακέραιους

#1

Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς a,b,c,d,

με

που έχουν άθροισμα

και ικανοποιούν την εξίσωση
(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=26.

vgreco · #2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 08, 2022 4:08 pm
Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς με που έχουν άθροισμα και ικανοποιούν την εξίσωση

Κάνοντας πράξεις ισοδύναμα έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} (a - b)&(c - d) + (a - d)(b - c) = 26 \\ &\Leftrightarrow \cancel{ac} - ad - bc + \bcancel{bd} + ab - \cancel{ac} - \bcancel{bd} + cd = 26 \\ &\Leftrightarrow (a - c)(b - d) = 2 \cdot 13 \end{aligned} }$

Προφανώς δε γίνεται ο a - c

(ή αντίστοιχα ο b - d

) να είναι

, διότι τότε a = c + 1 > b > c

, άτοπο αφού $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ .

Άρα, διακρίνω τις εξής δύο περιπτώσεις:

$a = c + 2 > b > c \Rightarrow b = c + 1$ , που σε συνδυασμό με την και τη δοσμένη συνθήκη δίνουν $4c = 80 \Leftrightarrow c = 20$ .

Εύκολα, μετά, βρίσκω $\boxed{(a, b, c, d) = (22, 21, 20, 8)}$ .

$b = d + 2 > c > d \Rightarrow c = d + 1$ , με , και αντικαθιστώντας στην , παίρνω: , εξίσωση αδύνατη στο $\mathbb{Z}$ .

#3

Καλησπέρα σε όλους. Κι εδώ επιχειρώ μιαν απάντηση. Ίσως υπάρχει ταχύτερη λύση.

Είναι $\displaystyle (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = 26 \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {b - d} \right) = 26$
Αφού οι όροι του γινομένου είναι θετικοί ακέραιοι, θα είναι

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a - c = 1\\ b - d = 26 \end{array} \right.\;\;\; \vee \;\left\{ \begin{array}{l} a - c = 2\\ b - d = 13 \end{array} \right.\;\; \vee \left\{ \begin{array}{l} a - c = 26\\ b - d = 1 \end{array} \right.\;\;\; \vee \;\left\{ \begin{array}{l} a - c = 13\\ b - d = 2 \end{array} \right.$

Ισχύει $\displaystyle a + b + c + d = 71$

Στην περίπτωση (1) είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a = c + 1\\ a > b > c \end{array} \right.$ , αδύνατον, αφού είναι ακέραιοι.

Ομοίως στην περίπτωση (3) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} b = d + 1\\ b > c > d \end{array} \right.$ αδύνατον.

Στην περίπτωση (2) είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a = c + 2\\ a > b > c \end{array} \right.\,\, \Rightarrow b = c + 1$ , οπότε

$\displaystyle a + b + c + d = 71 \Rightarrow c + 2 + c + 1 + c + d = 71 \Leftrightarrow 3c + d = 68$

και $\displaystyle b - d = 13 \Rightarrow c + 1 - d = 13 \Leftrightarrow c - d = 12$

Από αυτές τις σχέσεις έχουμε $\displaystyle 4c = 80 \Leftrightarrow c = 20,\;\;a = 22,\;\;b = 21,\;\;d = 8$

Στην περίπτωση (4) είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} b = d + 2\\ b > c > d \end{array} \right.\,\, \Rightarrow c = d + 1$ , οπότε

$\displaystyle a + b + c + d = 71 \Rightarrow a + d + 2 + d + 1 + d = 71 \Leftrightarrow a + 3d = 68$

και $\displaystyle a - c = 13 \Rightarrow a - d - 1 = 13 \Leftrightarrow a - d = 14$

Από αυτές τις σχέσεις έχουμε $\displaystyle 4d = 54 \Leftrightarrow d = \frac{{27}}{2}$ , αδύνατο.

edit: Όσο πληκτρολογούσα, δεν είχα δει την απάντηση του vgreco.

#4

Εξίσωση στους ακέραιους

Εξίσωση στους ακέραιους

Re: Εξίσωση στους ακέραιους

Re: Εξίσωση στους ακέραιους

Re: Εξίσωση στους ακέραιους

Μέλη σε σύνδεση