Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

#1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο και έστω το σημείο επαφής του -παρεγγεγραμμένου κύκλου του με την ευθεία . Η ισογώνια ευθεία της ως προς την γωνία $\angle A$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω και ας είναι το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ από την ευθεία όπου είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Αποδείξτε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα εφάπτεται και των ευθειών και .

: Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.; f=181 t=72206.PNG (23.72 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Κώστας Βήττας.

#2

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 1:38 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο και έστω το σημείο επαφής του -παρεγγεγραμμένου κύκλου του με την ευθεία . Η ισογώνια ευθεία της ως προς την γωνία $\angle A$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω και ας είναι το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ από την ευθεία όπου είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Αποδείξτε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα εφάπτεται και των ευθειών και .
f=181 t=72206.PNG
Κώστας Βήττας.

Κώστα καλησπέρα,

Δεν ξέρω τι είχες κατά νου για τη λύση του ως άνω προβλήματος αλλά έχω (φαίνεται πιο κάτω) μια στοιχειώδη λύση (ελπίζω να μην μου διαφεύγει κάτι)

$\bullet$ Έστω $T\equiv AE\cap \left( K \right),T\ne E$ και ας είναι $N\equiv AB\cap \left( {{I}_{c}} \right)$ (το σημείο επαφής οπότε θα είναι και ${{I}_{c}}N\bot AB$ και έστω

το ίχνος της εκ του

καθέτου επί την

.

Τότε
$\angle AEC\overset{A,E,C,B\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle ABD\overset{\angle EAC=\angle BAD(\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta )}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\vartriangle AEC\sim \vartriangle ABD\Rightarrow \angle ACE=\angle ADB:\left( 1 \right)$

: Κατασκευή μικτοεγγεγραμμένου κύκλου.png (51.85 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

$\bullet$ Με $A{{I}_{c}}$ διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας $\angle A$ και με AD,AET

ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας $\angle A$ θα είναι $\angle DA{{I}_{c}}=\angle TAK:\left( 2 \right)$ και $\angle KTA\equiv \angle KTE\overset{KE=KT}{\mathop{=}}\,\angle KET\overset{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu }{\mathop{=}}\,\angle AEO=$ ${{90}^{0}}-\left( \angle ACE \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\left( \angle ADB \right)=\angle ADI{}_{c}:\left( 3 \right)$

$\bullet$ Από $\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \vartriangle ATK\sim \vartriangle AD{{I}_{c}}\Rightarrow \dfrac{KT}{D{{I}_{c}}}=\dfrac{AK}{A{{I}_{c}}}$ $\overset{KF\parallel {{I}_{c}}N}{\mathop{=}}\,\dfrac{KF}{{{I}_{c}}N}\overset{{{I}_{c}}N={{I}_{c}}D={{r}_{C}}}{\mathop{=}}\,\dfrac{KF}{D{{I}_{c}}}\Rightarrow KF=KT=KE$ και συνεπώς ο κύκλος $\left( K \right)\left( K,KE \right)$ εφάπτεται της

και με

σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ ο εν λόγω κύκλος θα εφάπτεται και της

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

#3

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 1:38 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο και έστω το σημείο επαφής του -παρεγγεγραμμένου κύκλου του με την ευθεία . Η ισογώνια ευθεία της ως προς την γωνία $\angle A$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω και ας είναι το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ από την ευθεία όπου είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Αποδείξτε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα εφάπτεται και των ευθειών και

$\bullet$ Έστω $B'\in AB$ και $C'\in AC$ τυχόντα σημεία ώστε να είναι $B'C'\perp OA,$ όπου

είναι το περίκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Οι ευθείες $BC,\ B'C'$ είναι αντιπαράλληλες ως προς την γωνία $\angle A$ και το τετράπλευρο BCC'B'

είναι εγράψιμο ( γνωστό ).

: Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου - Απόδειξη.; f=181 t=72206 (a).PNG (26.96 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Θεωρούμε την Αντιστροφή με πόλο το σημείο

και δύναμη $u^{2} = (AB')(AB) = AC')(AC)$ , κατά την οποία ο κύκλος (O)

μετασχηματίζεται στην ευθεία B'C'

και οι ευθείες $AB,\ \ AC$ παραμένουν αναλοίωτες ( = ταυτίζοντε με τις εικόνες τους στην Αντιστροφή ) επειδή περνάνε από τον πόλο της Αντιστροφής και επομένως, ο ζητούμενος κύκλος (K)

είναι η εικόνα του

_παρεγγεγραμμένου κύκλου (K')

του τριγώνου $\vartriangle AB'C'$ στην ίδια Αντιστροφή.

Ο κύκλος (K')

όμως κατασκευάζεται και έστω

, το σημείο επαφής του με την ευθεία B'C'

.

Από την αντιπαραλληλία των ευθειών $BC,\ B'C'$ , έχουμε $\angle BAD = \angle C'AE'\Rightarrow$ $\angle C'AE' = \angle CAE\ \ \ ,(1)$ λόγω $\angle BAD = \angle CAE$ .

Τα συνευθειακά σημεία $E'\in B'C'$ και $E\in (O)$ τώρα, είναι αντίστροφα στην ίδια Αντιστροφή ( γιατί η ευθεία EE'

περνάει από τον πόλο

της Αντιστροφής ) και επομένως, ο κύκλος (K)

, όπου $K\equiv AK'\cap OE$ , εφάπτεται και των ευθειών $AB,\ AC$ , αφού τα σημεία $A,\ K',\ K$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#4

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 1:38 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο και έστω το σημείο επαφής του -παρεγγεγραμμένου κύκλου του με την ευθεία . Η ισογώνια ευθεία της ως προς την γωνία $\angle A$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω και ας είναι το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ από την ευθεία όπου είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Αποδείξτε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα εφάπτεται και των ευθειών και .
f=181 t=72206.PNG

Κώστας Βήττας.

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ . Ο κύκλος $\left( {A,B,C} \right)$ έχει κέντρο

.

Ας είναι τώρα ο κέντρου

παρεγγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ που αντιστοιχεί στην πλευρά

.

Προφανές ότι η ευθεία

είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας

του $\vartriangle ABC$ .

Έστω ακόμα

, το σημ επαφής , αυτού του κύκλου με την ευθεία

.

Θεωρώ τώρα τον κύκλο $\Omega$ που είναι ο συμμετρικός του με κέντρο συμμετρίας το

.

Θεωρώ και την αντιστροφή του $\Omega$ , με πόλο το σημείο

και δύναμη αντιστροφής

: Κατασκευή Μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου_ok_ελαφρύ.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

$\boxed{{k^2} = bc}$ και προκύπτει ο Μικτοπαρεγγεγραμμένος κύκλος που με βάσει τη θεωρία της αντιστροφής ( Βιβλίο Πάρι Πάμφιλου Έλασσον γεωμετρικόν, παρ. 4.8 ή Γεωμετρία για διαγωνισμούς 4 Μπάμπη Στεργίου Ενότητα 6η από 293 έως και 304 σελίδα)

1. Αν

το σημείο επαφής του με τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ και

το σημείο επαφής του με την ευθεία

θα είναι , $\widehat {DAB} = \widehat {SAE}$ (δηλαδή ισχύει η ισογωνιότητα των ευθειών που έθεσε ο Κώστας)

2. προφανώς το κέντρο του θα είναι η τομή των ευθειών , $AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OE$ .

Δίδονται δύο δυναμικά αρχεία . Το «βαρύ» που αν ζητηθεί το ιστορικό να φαίνονται όλες οι κατασκευές και το «ελαφρύ» που μπορεί κάποιος να αλλάξει την ακτίνα του

κύκλου $\left( {A,B,C} \right)$ και να μετακινήσει τις κορυφές $A,B,C\,$ ( πάντα πάνω στον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ )

Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

Re: Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

Re: Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

Re: Κατασκευή μικτοπαρεγγεγραμμένου κύκλου.

Μέλη σε σύνδεση