Πονηρή-2

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 193.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 2503 φορές

cool geometry · #2

$\angle DAB=50^{0}\Leftrightarrow \angle BAC=\angle ABC=70^{0},\angle ACB=40^{0}.$ (εύκολο).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup ABD:A\Delta =AB\cdot \eta \mu 40^{0}(1).$
Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $\bigtriangleup ABC:\frac{AB}{\eta \mu 40^{0}}=\frac{2AM}{\eta \mu 70^{0}}\Leftrightarrow AM=AB\cdot \frac{\eta \mu 70^{0}}{2\eta \mu 40^{0}}(2).$
$(1),(2)\Rightarrow \frac{A\Delta }{AM}=\eta \mu 40^{0}:\frac{\eta \mu 70^{0}}{2\eta \mu 40^{0}}=\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})},$ και η συνέχεια πολύ απλή.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 22, 2022 8:04 pm
193.png

Με

ύψος του τριγώνου ABC

,το

είναι εγγράψιμμο

Άρα $\angle AED=40^0, \angle EAD=30^0$ και $\angle MED=10^0$ (αφού $\angle MEA=50^0$ )

Με

συμμετρικό του

ως προς

το τρίγωνο AEZ

είναι ισόπλευρο,συνεπώς

είναι μεσοκάθετη της

,άρα $\angle AZM=30^0$

Αλλά $\angle AZD= \angle AED=40^0$ οπότε $\angle MZD=10^0$ και το DMZE

είναι εγγράψιμμο

Έτσι, $\angle MDH=30^0$ κι επειδή $\angle MHD=90^0$ θα είναι $\angle \theta =60^0$

: πονηρή-2.png (54 KiB) Προβλήθηκε 2436 φορές

cool geometry · #4

$\eta \mu 40^{0}:\frac{\eta \mu 70^{0}}{2\eta \mu 40^{0}}=\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}=\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}\Leftrightarrow \vartheta =60^{0}.$ Όντως αυτό ισχύει και είναι πολύ απλό, ωστόσο η λύση του Μιχάλη είναι αξιοθαύμαστη, καταπληκτική!!!

#5

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 9:08 am
$\angle DAB=50^{0}\Leftrightarrow \angle BAC=\angle ABC=70^{0},\angle ACB=40^{0}.$ (εύκολο).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup ABD:A\Delta =AB\cdot \eta \mu 40^{0}(1).$
Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $\bigtriangleup ABC:\frac{AB}{\eta \mu 40^{0}}=\frac{2AM}{\eta \mu 70^{0}}\Leftrightarrow AM=AB\cdot \frac{\eta \mu 70^{0}}{2\eta \mu 40^{0}}(2).$
$(1),(2)\Rightarrow \frac{A\Delta }{AM}=\eta \mu 40^{0}:\frac{\eta \mu 70^{0}}{2\eta \mu 40^{0}}=\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})},$ και η συνέχεια πολύ απλή.

«λιθάρια και πλίθες και ξύλα και κεραμίδια, ριγμένα άταχτα (στην τύχη)».

Αναμένω πλήρη λύση της άσκησης (τώρα που ξεκαθάρισες τα ημίτονα απο τα συνημίτονα )

Και φυσικά όχι να (νομίζεις ότι) επαληθεύεις τις απαντήσεις άλλων ( εν προκειμένω του Μιχάλη του Τσουρακάκη).

cool geometry · #6

Πολύ πλήρης είναι ως υπόδειξη!! Εγώ δεν δίνω απαντήσεις ολόκληρες, μόνο κατεύθυνση σκέψης για τους μαθητές. Η κατεύθυνση σκέψης που τους έδωσα είναι σαφής και με πολύ απλές τριγωνομετρικές σχέσεις!! Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τους γράφω στα ελληνικά πλέον!! Και εδώ η συζήτηση κλείνει!!

cool geometry · #7

$\bigtriangleup \boldsymbol{AB\Delta }:\boldsymbol{\frac{A\Delta }{AB}}=\boldsymbol{\eta \mu 40^{0}}\boldsymbol{(1)}.$
$\bigtriangleup \boldsymbol{AB\Gamma }:\boldsymbol{\frac{AB}{2AM}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu A\Gamma B^{}}{\eta \mu AB\Gamma }}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 40^{0}}{\eta \mu 70^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\frac{AB}{AM}}=\boldsymbol{\frac{2\eta \mu 40^{0}}{\eta \mu 70^{0}}}\boldsymbol{(2)}.$
$\boldsymbol{(1),(2)}\Rightarrow \boldsymbol{\frac{A\Delta }{AB}}\cdot \boldsymbol{\frac{AB}{AM}}=\boldsymbol{\frac{A\Delta }{AM}}=\boldsymbol{\eta \mu 40^{0}}\cdot \boldsymbol{\frac{2\eta \mu 40^{0}}{\eta \mu 70^{0}}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}},$ άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$

#8

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:20 pm
....άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$

Πως αποδεικνύεται η παραπάνω ισοδυναμία;

cool geometry · #9

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:44 pm

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:20 pm
....άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$
Πως αποδεικνύεται η παραπάνω ισοδυναμία;

Λόγω μονοτονίας της $\boldsymbol{f(x)=\frac{\eta \mu x}{\eta \mu (x+20^{0})}}\boldsymbol{,}$ έχουμε μοναδική λύση αυτή που έγραψα παραπάνω.

#10

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:57 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:44 pm

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:20 pm
....άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$
Πως αποδεικνύεται η παραπάνω ισοδυναμία;
Λόγω μονοτονίας της $\boldsymbol{f(x)=\frac{\eta \mu x}{\eta \mu (x+20^{0})}}\boldsymbol{,}$ έχουμε μοναδική λύση αυτή που έγραψα παραπάνω.

Σε ποιο διάστημα είναι μονότονη; Πως αποδεικνύεται η μονοτονία της με ύλη Α Λυκείου;

Ιστοσελίδα · #11

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 22, 2022 8:04 pm

Χωρίς βερμπαλισμό...

: 2022-08-23_20-38-10.png (51.51 KiB) Προβλήθηκε 2201 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #12

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 1:17 pm
Πολύ πλήρης είναι ως υπόδειξη!! Εγώ δεν δίνω απαντήσεις ολόκληρες, μόνο κατεύθυνση σκέψης για τους μαθητές.

Καλό θα ήταν να γράφεις πλήρεις λύσεις. Αυτή είναι μια συνήθεια που βοηθά τους μαθητές που μας παρακολουθούν. Οι αναλυτικά γραμμένες λύσεις, όχι απλά υποδείξεις, εκτιμώνται...

cool geometry · #13

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 7:59 pm

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:57 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:44 pm

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:20 pm
....άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$
Πως αποδεικνύεται η παραπάνω ισοδυναμία;
Λόγω μονοτονίας της $\boldsymbol{f(x)=\frac{\eta \mu x}{\eta \mu (x+20^{0})}}\boldsymbol{,}$ έχουμε μοναδική λύση αυτή που έγραψα παραπάνω.
Σε ποιο διάστημα είναι μονότονη; Πως αποδεικνύεται η μονοτονία της με ύλη Α Λυκείου;

Ναι, με ύλη πρώτης Λυκείου δεν αποδεικνύεται, όμως αυτό το πρόβλημα δεν είναι για το σχολείο της πρώτης Λυκείου, είναι για διαγωνισμούς!! Επομένως τα παιδιά έχουν ανώτερο επίπεδο και γνωρίζουν την μονοτονία.

Φανης Θεοφανιδης · #14

Ευχαριστώ τον Μιχάλη Τσουρακάκη και τον Μιχάλη Νάννο για τον χρόνο τους και τις όμορφες γεωμετρικές λύσεις.

Φανης Θεοφανιδης · #15

: 195.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 1981 φορές

Με

μέσο της

και

ισόπλευρο τρίγωνο, το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου NAP

.
Οπότε $\angle PNA=10^{0}, \angle APN=20^{0}$ και $\angle DNM=10^{0}$ .
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων NMD, NAP

έπεται ότι $\angle NMD=20^{0}$ .
Συνεπώς $\angle AMD=60^{0}$ .

cool geometry · #16

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 24, 2022 10:31 pm
195.png

Με μέσο της και ισόπλευρο τρίγωνο, το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .
Οπότε $\angle PNA=10^{0}, \angle APN=20^{0}$ και $\angle DNM=10^{0}$ .
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων έπεται ότι $\angle NMD=20^{0}$ .
Συνεπώς $\angle AMD=60^{0}$ .

Μια εικόνα χίλιες λέξεις!!!!

Εξαιρετική λύση με τα μέσα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , πολύ καλύτερη από τη δική μου ανιαρή-τριγωνομετρική λύση. Νομίζω εδώ για πλήρη κατανόηση της λύσης σου, πρέπει να πεις το εξής: Η $\boldsymbol{MN\left | \right |BC}$ ως συνδέουσα των μέσων των άλλων δύο πλευρών του δοσμένου αρχικού τριγώνου. Εντάξει να μου πεις είναι πανεύκολο και προφανές, αλλά καλό είναι
να το πούμε. Δεν το λέω σαν παρατήρηση, καμία σχέση, η λύση σου είναι

, απλά το είπα μήπως και δεν το δει κάποιος.

kkala · #17

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 6:44 pm

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 5:20 pm
άρα $\boldsymbol{\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu (\vartheta +20^{0})}}=\boldsymbol{\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 80^{0}}}\Leftrightarrow \boldsymbol{\vartheta =60^{0}}.$
Πως αποδεικνύεται η παραπάνω ισοδυναμία;

cool geometry: Λόγω μονοτονίας της $\boldsymbol{f(x)=\frac{\eta \mu x}{\eta \mu (x+20^{0})}}\boldsymbol{,}$ έχουμε μοναδική λύση αυτή που έγραψα παραπάνω.

Δεν είναι ανάγκη να επικαλεσθούμε μονοτονία, η εξίσωση ισοδυναμεί (*) με
$\eta \mu \theta \eta \mu 80^o=\eta \mu 60^o\eta \mu (\theta +20^0)\Leftrightarrow$
$\sigma \upsilon \nu (80^0-\theta)-\sigma \upsilon \nu (80^0+\theta)=\sigma \upsilon \nu (\theta -40^0)-\sigma \upsilon \nu (80^0+\theta)$
$\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (80^0-\theta )=\sigma \upsilon \nu (\theta -40^0)$
Επομένως $\theta -40^0=80^0-\theta +K360^0$ και $2\theta =120^0+K360^0\Leftrightarrow \theta =60^0$
(K=0, διότι $\theta$ είναι γωνια τριγώνου).

ή $\theta -40^0=360^0K-80^0+\theta$ , που δεν έχει λύσεις (είναι αδύνατος).
άρα $\theta$ = 60^0

Σημείωση: Κ=τυχόν ακέραιος
(*) υπό τον όρο ότι $\eta \mu (\theta +20^0)\neq 0$ , το οποίο συμβαίνει με τη λύση.

Πονηρή-2

Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Re: Πονηρή-2

Μέλη σε σύνδεση