Δίδυμοι μπελάδες

KARKAR · #1

: Δίδυμοι μπελάδες.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, εντοπίστε σημεία S , T

των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : ST=3

και επιπλέον : α) BS=AT

, ή β)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 29, 2022 6:30 am
Δίδυμοι μπελάδες.pngΣτο τρίγωνο , με : , εντοπίστε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : και επιπλέον : α) , ή β) .

: Δίδυμοι μπελάδες_a.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Και στις δύο περιπτώσεις θέτω καθένα από τα ίσα τμήματα με $x\,\,\,,\,\,\,0 < x < 4$

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω: $\boxed{\cos A = \cos \theta = \frac{1}{8}}$ και μετά πάλι με το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle AST$ έχω:

: Δίδυμοι μπελάδες_b.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

α) $\boxed{x = 2 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}$ και β) $\boxed{x = \frac{9}{2} - \frac{{3\sqrt {105} }}{{14}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 29, 2022 6:30 am
Δίδυμοι μπελάδες.pngΣτο τρίγωνο , με : , εντοπίστε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : και επιπλέον : α) , ή β) .

Ανάλυση .

: Δίδυμοι μπελάδες_κατασκευή.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο BSTE

. Το σημείο

ανήκει ταυτόχρονα στον κύκλο $\left( {B,3} \right)$ αλλά και στην διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ .

Κατασκευή .

Γράφω τον κύκλο $\left( {B,3} \right)$ και τη διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ .

Από το σημείο

, εσωτερικό του $\vartriangle ABC$ , που ο κύκλος τέμνει τη διχοτόμο

φέρνω παράλληλη πρός την

και τέμνει την

στο

. Προφανώς TE = TA

.

Αν λοιπόν από το

φέρω παράλληλη στην

και κόψει την

στο

, Η

είναι αυτή που θέλω .

Έχω και για το άλλο ερώτημα κατασκευή χωρίς υπολογισμούς . Αν δε γραφεί θα γράψω σχετικά .

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 29, 2022 6:30 am
Δίδυμοι μπελάδες.pngΣτο τρίγωνο , με : , εντοπίστε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : και επιπλέον : α) , ή β) .

ΑΝΑΛΥΣΗ

Έστω ότι AB//KT,ST//BK

Οπότε το τρίγωνο TKC

είναι ισοσκελές με TK=TC

$TP\perp KC, A\Theta \perp KC ,KP=PC,\hat{PTC}=\hat{BA\Theta }=\hat{\Theta AC}$

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Ο κύκλος (B,3)

τέμνει

στο σημείο

γιατί

$\hat{TCK}=90-\dfrac{A}{2}=ct$ οποτε η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο σημείο

και το σημείο

Ορίζεται από BK=ST=3,BK//ST

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 29, 2022 6:30 am
Δίδυμοι μπελάδες.pngΣτο τρίγωνο , με : , εντοπίστε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : και επιπλέον : α) , ή β) .

β ερώτημα
Ανάλυση

: Δίδυμοι μπελάδες_b_Ανάλυση.png (26.79 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Η από το

κάθετη στη σταθερή διχοτόμο της γωνίας $\widehat {{A_{}}} = \theta$ , τέμνει την

στο

και προφανώς DT = 1

.

Αν

το μέσο του

και

το μέσο του

θα είναι : $MN// = \dfrac{{DT}}{2} = \dfrac{1}{2}$ και με

ο νότιος πόλος του κύκλου $\left( {A,S,T} \right)$ , το τετράπλευρο SNMJ

είναι εγράψιμο.

Δηλαδή το τρίγωνο AST

κατασκευάζεται γεωμετρικά γιατί γνωρίζω :

Την πλευρά του ST = 3

, την απέναντι γωνία του $\theta$ ( οπότε και τον περιγεγραμμένο του κύκλο ) και τη διαφορά , AT - AS = 1

( οπότε το

τομή της διχοτόμου της γωνίας $\widehat {{A_{}}}$ με τον κύκλο $\left( {S,M,J} \right)$ ανήκει και στον κύκλο $\left( {M,\dfrac{1}{2}} \right)$
Κατασκευή .

: Δίδυμοι μπελάδες β κατασκευή.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Θεωρώ ένα ευθύγραμμο τμήμα ST = 3

με τα σημεία S,T

πάνω στις πλευρές μια γωνίας $\widehat {{{A'}_{}}} = \theta$ .

Γράφω τον κύκλο $\left( {A',S,T} \right)$ και έστω ,

ο νότιος πόλος του και

το μέσου του

.

Οι κύκλοι $\left( {M,\dfrac{1}{2}} \right)$ και $\left( {S,M,J} \right)$ τέμνονται στο

και η

τέμνει τον κύκλο $\left( {A',S,T} \right)$ στο

.

Στις προεκτάσεις των $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$ θεωρώ τα σημεία B,C

με $AB = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 5$ .

Το τρίγωνο $ABC\,$ έχει ακόμα BC = 6

( Θ. συνημίτονου ) και SB = TC

.

Την κατασκευή την βάζω και σε δυναμικό αρχείο Geogebra

. Σε άλλη ανάρτηση που έδωσα δυναμικό αρχείο κάποιος μου παραπονέθηκε ότι δεν δουλεύει. Όποιους μετά ρώτησα μου είπαν ότι δουλεύει σωστά . Το στέλνω και με το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο .

Δίδυμοι μπελάδες β κατασκευή.ggb: (40.45 KiB) Μεταφορτώθηκε 16 φορές

Δίδυμοι μπελάδες

Δίδυμοι μπελάδες

Re: Δίδυμοι μπελάδες

Re: Δίδυμοι μπελάδες

Re: Δίδυμοι μπελάδες

Re: Δίδυμοι μπελάδες

Μέλη σε σύνδεση