Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#361

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 12, 2022 8:36 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 18, 2022 1:35 pm
Άσκηση 114

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin 2015x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} - \sum_{k=1}^{504}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}$

Φίλος μου ζήτησε σε προσωπικό μήνυμα να αναρτήσω λύση για την άσκηση αλλά ας όψεται ο χρόνος. Η αλήθεια είναι πως είναι απαιτητική για τη Γ' Λυκείου. Την επαναφέρω ... και αν δεν απαντήσει κάποιος θα αναρτήσω τη λύση που έχω.

Την άσκηση την έχω λύσει προ καιρού αλλά έχει πάρα πολλές πράξεις γι΄αυτό δεν έγραψα την λύση. Ίσως βρω τον χρόνο να το κάνω κάποια στιγμή. Πέρα από τις πράξεις, και χρήση μιας ταυτότητας που γράφω παρακάτω, η άσκηση είναι προσιτή.

Για να υπάρχει, σημειώνω ότι αν $\displaystyle{\displaystyle{I_n= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin nx}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x}$ τότε γενικότερα έχουμε

$\displaystyle{ I_{8n-1}= \dfrac{\pi}{4} - \sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}$

Επίσης έχουμε μερικούς ωραίους τύπους όπως

$I_{8n+3}=I_{8n+5}$ και $I_{8n+1}=I_{8n+7}$ .

Ένα βήμα κλειδί για την λύση της άσκησης είναι η εξής ταυτότητα

$\displaystyle{ \dfrac {\sin 4x} {\sin x + \cos x}= \dfrac {2\sin 2x \cos 2x} {\sin x + \cos x}= \dfrac {2\sin 2x (\cos ^2x-\sin ^2 x)} {\sin x + \cos x}= 2\sin 2x (\cos x-\sin x) =}$

$\displaystyle{ = 2\sin 2x \cos x - 2\sin 2x \sin x= \left ( \sin 3x + \sin x\right ) +\left ( \cos 3x - \cos x \right )$

Tolaso J Kos · #362

Ένα παραπλήσιο αυτού του θέματος εδώ είναι η παρακάτω ...

Άσκηση 118

Έστω $\displaystyle{p(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}}$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{x^n e^x}{p^2(x) + e^{2x}}\, \mathrm{d}x }$

#363

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 5:51 pm
Ένα παραπλήσιο αυτού του θέματος εδώ είναι η παρακάτω ...

Άσκηση 118

Έστω $\displaystyle{p(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}}$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{x^n e^x}{p^2(x) + e^{2x}}\, \mathrm{d}x }$

Ξεχάστηκε.

$\displaystyle{ \int \frac{x^n e^x}{p^2(x) + e^{2x}}dx = \int \frac{x^n e^{-x}}{p^2(x)e^{-2x} + 1}dx = \int \frac{x^n e^{-x}}{\left (p(x)e^{-x}\right )^2 + 1}dx \,(*)$

Ομως
$\displaystyle{p'(x)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}}= p(x) - \frac{x^n}{n!}}}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{ \frac{x^n}{n!} = p(x)-p'(x)}$ . Οπότε το δεξί μέλος της (*)

ισούται με

$\displaystyle{n!\int \frac{(p(x)-p'(x))e^{-x}}{\left (p(x)e^{-x}\right )^2 + 1}dx =-n!\int \frac{\left (p(x)e^{-x}\right )'}{\left (p(x)e^{-x}\right )^2 + 1}dx = -n! \arctan (p(x)e^{-x}) +c}$

#364

Άσκηση 119

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \left ( \arcsin χ }\right )^4 \, dx$

#365

Άσκηση 120

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {6^x}{4^x+9^x} \, dx$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #366

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 05, 2023 6:51 pm
Άσκηση 120

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {6^x}{4^x+9^x} \, dx$

$\displaystyle{\int \dfrac {6^x}{4^x+9^x} \, dx=\int \dfrac{(3/2)^x}{1+{(3/2)}^{2x}}}dx\overset{(3/2)^x\to z}{=}\int \dfrac{z}{1+z^2}dx$

Τώρα $\dfrac{dz}{dx}=((3/2)^x)'=\ln \dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^x=z\ln \dfrac{3}{2}$ άρα θέλουμε το $\displaystyle{\dfrac{1}{\ln \dfrac{3}{2}}\int \dfrac {1}{1+z^2}dz\overset{z=\tan y}{=}\dfrac{1}{\ln \dfrac{3}{2}}\int \cos^2ydz=\dfrac{1}{\ln \dfrac{3}{2}}\int 1dy=\dfrac{1}{\ln \dfrac{3}{2}}y+c=\boxed{\dfrac{\tan^{-1}(\frac{3}{2})^x}{\ln\dfrac{3}{2}}+d}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #367

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 24, 2022 9:43 am
Άσκηση 119

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \left ( \arcsin χ }\right )^4 \, dx$

$\displaystyle{\int \left ( \arcsin x \right )^4 \, dx\overset{x=\sin z}{=}\int z^4\cdot\dfrac{dx}{dz}dz}=\int z^4\cos zdz=\int z^4(\sin z)'dz=z^4\sin z-\int 4z^3(-\cos z)'dz=$
$\displaystyle = z^4\sin z+4\left (z^3\cos z-\int 3z^2(\sin z)'dz\right )=z^4\sin z+4z^3\cos z-12\left (z^2\sin z+\int 2z(\cos z)'dz\right )$
$\displaystyle = z^4\sin z+4z^3\cos z-12z^2\sin z-24z\cos z+24\int \cos z dz=$
$=z^4\sin z+4z^3\cos z-12z^2\sin z-24z\cos z+24\sin z +c=$

$= 4 \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1}(x)^3 - 24 \sqrt{1 - x^2} \sin^{-1}(x) + 24 x + x \sin^{-1}(x)^4 - 12 x \sin^{-1}(x)^2 + c$

#368

Άσκηση 121

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int x\arccos \left (\dfrac {1}{x} \right )\, dx$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #369

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 06, 2023 12:53 am
Άσκηση 121

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int x\arccos \left (\dfrac {1}{x} \right )\, dx$

$\displaystyle\int x\arccos \left (\dfrac {1}{x} \right )\, dx\overset{x=1/\cos y}{=}\int \dfrac{1}{\cos y}y\dfrac{dx}{dy}dy=\int \dfrac{y}{\cos y}\cdot \dfrac{\sin y}{\cos ^2y}dy=\int y\tan y(\tan y)'dy=I$

Το $\displaystyle I=\int y\tan y(\tan y)'dy=\int \tan y((y\tan y)'-\tan y)dy=\int \tan y(y\tan y)')-\int \dfrac{\sin^2y}{\cos ^2y}dy=$
$\displaystyle =y\tan^2y-\int y\tan y(\tan y)'-\int \left (\dfrac{1}{\cos^2 y}-1\right )dy\Leftrightarrow I=\dfrac{1}{2}y\tan^2y+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}\tan y+c=$ $=\dfrac{y}{2\cos^2y}-\dfrac{\sin y}{\cos y}+c=\dfrac{x^2}{2}\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{x}\right )-x\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+c$

#370

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 06, 2023 12:53 am
Άσκηση 121

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int x\arccos \left (\dfrac {1}{x} \right )\, dx$

Αλλιώς, με ολοκλήρωση κατά μέρη. Θα μας χρειαστεί το

$\displaystyle{ \dfrac {d}{dx} \arccos \left (\dfrac {1}{x} \right )= - \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {1}{x^2} }}\cdot\left ( - \dfrac {1}{x^2} \right ) = \dfrac {1}{x\sqrt {x^2-1}}}$ . 'Αρα το ολοκλήρωμα ιστούται με

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{2} \arccos \dfrac {1}{x} -\dfrac {1}{2} \int \dfrac {x^2dx}{x\sqrt {x^2-1}}= \dfrac {x^2}{2} \arccos \dfrac {1}{x} -\dfrac {1}{2} \int \dfrac {xdx}{\sqrt {x^2-1}}= \dfrac {x^2}{2} \arccos \dfrac {1}{x} -\dfrac {1}{2} \sqrt {x^2-1} +c}$

#371

Άσκηση 122

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \, dx$

Ορέστης Λιγνός · #372

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 09, 2023 2:42 am
Άσκηση 122

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \, dx$

Είναι,

$\displaystyle \int \dfrac {\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \, dx=\int (\sin^2 x -\sin x \cos x+\cos^2 x) \, dx = \int (1-\sin x \cos x) \, dx=$

$\displaystyle \int (1-\dfrac{\sin 2x}{2}) \, dx=x+\dfrac{\cos 2x}{4}+c$ .

#373

Άσκηση 123

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {(1+x^3)(1+x^6)}{(1+x)(1+x^2)} \, dx$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

#374

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 13, 2023 8:55 am
Άσκηση 123

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {(1+x^3)(1+x^6)}{(1+x)(1+x^2)} \, dx$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Ανοικτή σε όλους.

BAGGP93 · #375

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2023 9:20 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 13, 2023 8:55 am
Άσκηση 123

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {(1+x^3)(1+x^6)}{(1+x)(1+x^2)} \, dx$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.
Ανοικτή σε όλους.

Η ολοκλήρωση γίνεται είτε στο $\left(-\infty,-1\right)$ ή στο $\left(-1,+\infty\right).$ Είναι,

(1+x^3)(1+x^6)=(1+x^3)(1+(x^2)^3)=(1+x)(x^2-x+1)(1+x^2)(x^4-x^2+1),

οπότε ολοκληρώνουμε την

$\displaystyle{f(x)=(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)}$

που είναι πολυωνυμική.

#376

Άσκηση 124

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {dx}{ x \sqrt [4] {1+x^4}} \, dx$

BAGGP93 · #377

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2023 5:28 pm
Άσκηση 124

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {dx}{ x \sqrt [4] {1+x^4}} \, dx$

Ολοκλήρωση στο $I=(-\infty,0)$ ή στο $I=\left(0,+\infty\right).$ Έχουμε

$\displaystyle{\int \frac{1}{x\,\sqrt[4]{1+x^4}} dx=\int \frac{4\,x^3}{4\,x^4\,\sqrt[4]{1+x^4}} dx.}$

Αλλαγή μεταβλητής y=x^4

και το ολοκλήρωμα γίνεται

$\displaystyle{\int \frac{1}{y\,\sqrt[4]{1+y}} dy}$ όπου στο τελευταίο ολοκλήρωμα με την αλλαγή $r=\sqrt[4]{1+y}$ προκύπτει y=r^4-1

και $dy=4\,r^3 dr$ άρα

$\begin{aligned}\int \frac{4\,r^3}{(r^4-1)\,r} dr&=\int \frac{4\,r^2}{r^4-1} dr\\&=\int \frac{4 (r^2-1)+4}{(r^2-1)(r^2+1)} dr\\&=\int \frac{4}{r^2+1}dr+\int \frac{4}{(r-1)(r+1)(r^2+1)} dr \end{aligned}$

και τα δύο τελευταία ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται εύκολα, το πρώτο είναι τόξο εφαπτομένης και το δεύτερο ανάλυση σε απλά κλάσματα.

Γράφω και την αντιστροφή $\,r=\sqrt[4]{1+y}=\sqrt[4]{1+x^4}.$

#378

Ωραιότατα.

Λίγο πιο απλά, αντί να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής δύο φορές, $x\to y$ και $y \to r$ , μπορούμε απευθείας r^4 = 1+x^4

. Θα μας φέρει αμέσως στο

BAGGP93 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 11:21 am
$\displaystyle{\int \frac{4\,r^2}{r^4-1} dr}$

Αυτό με την σειρά του, αντί να πούμε

BAGGP93 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 11:21 am

$\displaystyle{\int \frac{4\,r^2}{r^4-1} dr =\int \frac{4 (r^2-1)+4}{(r^2-1)(r^2+1)} dr =\int \frac{4}{r^2+1}dr+\int \frac{4}{(r-1)(r+1)(r^2+1)} dr }$

είναι πιο απλό να πούμε

$\displaystyle{\int \frac{4\,r^2}{r^4-1} dr =\int \left ( \frac{2}{r^2-1} + \frac{2}{r^2+1}\right ) dr}$ , και λοιπά.

#379

Άσκηση 125

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx$

BAGGP93 · #380

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 7:43 pm
Άσκηση 125

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx$

Ολοκληρώνουμε στο $I=\left(0,1\right).$ Με ολομέτωπη επίθεση $y=\sqrt{1+2\,\sqrt{x-x^2}}=\sqrt{1+\sqrt{1-(2\,x-1)^2}}$ βρίσκω $\displaystyle{2\,x-1=(1-(y^2-1)^2)^{1/2},\,\,y\in\left(1,\sqrt{2}\right)}$

Άρα $2\,dx=y\,(1-y^2)\,(1-(y^2-1)^2)^{-1/2}\,dy$ και το ολοκλήρωμα γίνεται

$\begin{aligned} \int \frac{y}{2}\,y\,(1-y^2)\,(1-(1-y^2)^2)^{-1/2}\,dy&=\int \frac{y}{2}\,y\,(1-y^2)\,(2-y^2)^{-1/2}\,y^{-1}\,dy\\&=\int \frac{y}{2}\,(1-y^2)\,(2-y^2)^{-1/2}\,dy\\&\stackrel{r=y^2}{=}\int \frac{1}{4}(1-r)(2-r)^{-1/2}\,dr\\&=\frac{1}{4} \int \frac{1-r}{\sqrt{2-r}}\,dr\\&=\frac{1}{4}\,\int \left(\sqrt{2-r}-\frac{1}{\sqrt{2-r}}\right)\,dr\end{aligned}$

και γνωστά ολοκληρώματα.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση