Μέρος του τετραγώνου

KARKAR · #1

: Μέρος του τετραγώνου.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, θεωρούμε σημεία S , T

των πλευρών του CD , DA

αντίστοιχα , ώστε : CS=DT

.

Η

τέμνει την

στο

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

α) Για ποια θέση του

: ι) $(ABMN)=50\%(ABCD)$ και ιι) $(ABMN)=38\%(ABCD)$ ;

β) Ποιο είναι το μέγιστο ποσοστό της επιφάνειας του ABCD

που μπορεί να καλύψει το ABMN

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 10, 2022 7:59 am
Μέρος του τετραγώνου.pngΣτο τετράγωνο , θεωρούμε σημεία των πλευρών του αντίστοιχα , ώστε : .

Η τέμνει την στο και έστω το συμμετρικό του ως προς .

α) Για ποια θέση του : ι) $(ABMN)=50\%(ABCD)$ και ιι) $(ABMN)=38\%(ABCD)$ ;

β) Ποιο είναι το μέγιστο ποσοστό της επιφάνειας του που μπορεί να καλύψει το ;

Θέτω $SC = x\,\,,\,MC = MN = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a = AB = BC = BN$ . Ας είναι

η προβολή του

στην

και

.

$\left( {ABMN} \right) = {E_1} + {E_2} = {E_1} + \left( {ABF} \right)\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή $\vartriangle MNB \equiv \vartriangle CSB \Rightarrow \dfrac{{{E_1}}}{{\left( {SBC} \right)}} = \dfrac{{M{B^2}}}{{{a^2}}}\,\,\left( 2 \right)$

Αλλά $MB \cdot BS = B{C^2} \Rightarrow M{B^2} = \dfrac{{{a^4}}}{{{x^2} + {a^2}}}\,\,\left( 3 \right)$ και αφού $2{E_1} = ax$ από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ έχω:

$\boxed{{E_1} = \dfrac{{{a^3}x}}{{{x^2} + {a^2}}}\,\,\left( 4 \right)}$ .

Για το ${E_2}$ αρκεί να υπολογίσω το

. Γι’ αυτό υπολογίζω πρώτα το MN = k

από το εγγράψιμο τετράπλευρο MNBF

.

: Μέρος τετραγώνου.png (18.39 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

Είναι : $CM \cdot CN = CF \cdot CB \Rightarrow 2{k^2} = a(a - h)$ , αλλά λόγω της $\left( 3 \right)$ και του Π. Θ. στο $\vartriangle MNB$ προκύπτει , $k = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}$ οπότε από την προηγούμενη ( $2{k^2} = a\left( {a - h} \right)$ )

έχω , $h = \dfrac{{a\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + {a^2}}}$ και έτσι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\left( {ABMN} \right) = \boxed{f(x) = \dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + ax - {x^2}} \right)}}{{2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}}$

Έτσι έχω μέγιστη τιμή όταν $x = \left( {\sqrt 5 - 2} \right)a$ , $f(x) = \left( {40\% } \right){a^2}$ όταν $x = \dfrac{{5 + \sqrt {61} }}{{18}}a$ και $f(x) = \left( {38\% } \right){a^2}$ όταν $x = \dfrac{{3a}}{4}$ .

Επειδή $f\left( {a\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}{a^2}$ το μέγιστο ποσοστό που ζητάμε είναι : $(25\sqrt 5 )\%$ της συνολικής επιφάνειας του τετραγώνου , περίπου $55,9\%$ .

Τέλος ( διορθώνω , ευχαριστώ Θανάση) $f(x) = \left( {50\% } \right){a^2}$ , όταν $x = \dfrac{a}{2}$

Μέρος του τετραγώνου

Μέρος του τετραγώνου

Re: Μέρος του τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση