Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο

[george visvikis]

Παραλληλόγραμμο σε ημικύκλιο.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Δίνεται ημικύκλιο κέντρου διαμέτρου και ένα εσωτερικό σημείο του Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

εφάπτεται στις στα αντίστοιχα και η τέμνει το ημικύκλιο στα το πιο κοντά στο

Αν οι τέμνονται στο και οι στο να δείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.

[giannimani]

Έστω ότι οι διχοτόμοι , των γωνιών και του τριγώνου τέμνουν την ευθεία
στα σημεία και αντίστοιχα. Σύμφωνα με γνωστό λήμμα και , δηλαδή, και .
Έστω ότι οι και τέμνουν για δεύτερη φορά το ημικύκλιο στα και αντίστοιχα.
Τότε τα , είναι τα μέσα των τόξων , αντίστοιχα.
Ως εκ τούτου, , και
.
Από τις δύο παραπάνω παραλληλίες προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

quad_parallel.png (34.58 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Λήμμα: Έστω και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου με τις πλευρές του και αντίστοιχα.
Αν το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την ευθεία , τότε .