Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#341

Συνέχεια και γενίκευση των $108, \,109$ :

Άσκηση 110

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int f(x) g'' (x) \,dx = f(x)g'(x) - f'(x)g(x) + \int f''(x) g(x) \, dx$ <

Συχνά τον βλέπουμε στην ισοδύναμη μορφή $\displaystyle{\int (f(x) g'' (x)- f''(x)g(x) ) \,dx = f(x)g'(x) - f'(x)g(x) + c \,\,(*)$

O τύπος είναι πολύ γνωστός σε αυτούς που ασχολούνται με Διαφορικές Εξισώσεις, αλλά συχνά σε μορφή που τον κάνει αγνώριστο. Συγκεκριμένα παίρνει την μορφή "αυτοσυζυγούς τελεστή" (ότι και αν σημαίνει αυτό) όπως για παράδειγμα εδώ (λίγο πριν την μέση, στο σημείο που γράφει $\langle Lf,g \rangle = \langle f,\bar{L}g \rangle$

Για την απόδειξη μπορούμε βέβαια να κάνουμε δύο φορές ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Ένας συντομέτερος τρόπος, που εξηγεί και τον τύπο, είναι να παραγωγίσουμε το δεξί μέλος της (*)

. Εδώ

, που είναι η συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα.

Tolaso J Kos · #342

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 16, 2022 9:49 am

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int f(x) g'' (x) \,dx = f(x)g'(x) - f'(x)g(x) + \int f''(x) g(x) \, dx$

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int f(x) g''(x) \, \mathrm{d}x &= f(x) g'(x) - \int f'(x) g'(x)\, \mathrm{d}x \\ &= f(x) g'(x) - f'(x) g(x) + \int f''(x) g(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$

#343

Άσκηση 111

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _0^1 \left ( \dfrac {\sin (x^2)} {\sin 1} + \sqrt {\arcsin (x\sin 1) }\right ) \, dx$

BAGGP93 · #344

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 9:42 am
Άσκηση 111

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _0^1 \left ( \dfrac {\sin (x^2)} {\sin 1} + \sqrt {\arcsin (x\sin 1) }\right ) \, dx$

Έστω

το ολοκλήρωμα. Η συνάρτηση $f(x)=\frac{\sin(x^2)}{\sin 1}\,,x\in\left[0,1\right]$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left[0,1\right]$ ,

γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών $\left[0,1\right]$ . Για κάθε $x\,,y\in\left[0,1\right]$ έχουμε

$\displaystyle{y=f(x)\iff \sin(x^2)=y\,\sin\,1\iff x^2=\arcsin(y\,\sin 1)\iff x=\sqrt{\arcsin(y\,\sin 1)}.}$

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$\begin{aligned} I&=\int_{0}^{1}(f(x)+f^{-1}(x))dx\\&=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx\\&=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}x\,f^{\prime}(x)dx\\&=\int_{0}^{1}(f(x)+x\,f^{\prime}(x))dx=\left[x\,f(x)]_{0}^{1}=1\end{aligned}$

#345

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 10:43 am
...

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$\begin{aligned} I&=\int_{0}^{1}(f(x)+f^{-1}(x))dx\\&=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx\\&=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}x\,f^{\prime}(x)dx\\&=\int_{0}^{1}(f(x)+x\,f^{\prime}(x))dx=\left[x\,f(x)]_{0}^{1}=1\end{aligned}$

.
Σωστά αλλά υπάρχει ένας ενδιαφέρον τρόπος για υπολογισμό του $\int_{0}^{1}(f(x)+f^{-1}(x))dx$ o οποίος εξηγεί καλύτερα το "τι τρέχει". Συγκεκριμένα, αν $f:[0,1] \longrightarrow \,[0,1]$ αντιστρέψιμη συνάρτηση, όπως εδώ η $\dfrac {\sin (x^2)} {\sin 1}$ , τότε το μεν

$\int_{0}^{1}f(x)dx$ είναι το εμβαδόν

στο σχήμα, το δε

$\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx$ είναι το εμβαδόν

(αιτιολογείστε).

Άρα το αθροισμά τους είναι A+B

που βέβαια είναι το εμβαδόν του $1\times 1$ που τα περικλείει. Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι

, χωρίς να χρειαστεί να κάνουμε καμία πράξη. Κάποια στιγμή θα αναρτήσω και άλλη άσκηση στην ίδια ιδέα. Προσθέτω ότι και σε κάποιον ΑΣΕΠ υπήρχε θέμα που απαιτούσε την ίδια αυτή ιδέα.

Tolaso J Kos · #346

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 11:44 am
Συγκεκριμένα, αν $f:[0,1] \longrightarrow \,[0,1]$ αντιστρέψιμη συνάρτηση, όπως εδώ η $\dfrac {\sin (x^2)} {\sin 1}$ , τότε το μεν

$\int_{0}^{1}f(x)dx$ είναι το εμβαδόν στο σχήμα, το δε

$\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx$ είναι το εμβαδόν (αιτιολογείστε).

Όλα αυτά , και πολλά περισσότερα , μπορεί κάποιος να βρει εδώ.

#347

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 11:44 am
Κάποια στιγμή θα αναρτήσω και άλλη άσκηση στην ίδια ιδέα. Προσθέτω ότι και σε κάποιον ΑΣΕΠ υπήρχε θέμα που απαιτούσε την ίδια αυτή ιδέα.

Για λόγους πληρότητας αναρτώ τέτοια άσκηση από τον ΑΣΕΠ 2002, αλλά νομίζω ότι υπάρχει και άλλη. Αν την βρει κανείς, ας την αναρτήσει.
H παρακάτω τώρα φαίνεται απλή δεδομένης της προεργασίας στα προηγούμενα ποστ. Αν όμως κάποιος την πρωτοδεί, είναι πονηρή.

Άσκηση 112

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _0^1 e^{x^2} \,dx + \int _1^e \sqrt {\ln x} \, dx}$

Christos.N · #348

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 6:31 pm

Άσκηση 112

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _0^1 e^{x^2} \,dx + \int _1^e \sqrt {\ln x} \, dx}$

αρκεί να δούμε την αντικατάσταση $\sqrt {\ln x}=t \Leftrightarrow x=e^{t^2}$

όπου

$\displaystyle{\int _1^e \sqrt {\ln x} \, dx=\int _0^1 t (2te^{t^2}) \, dt=[te^{t^2}]_0^1-\int _0^1 e^{t^2} \, dt=e-\int _0^1 e^{x^2} \, dx}$

#349

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 6:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 6:31 pm

Άσκηση 112

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _0^1 e^{x^2} \,dx + \int _1^e \sqrt {\ln x} \, dx}$
αρκεί να δούμε την αντικατάσταση $\sqrt {\ln x}=t \Leftrightarrow x=e^{t^2}$

όπου

$\displaystyle{\int _1^e \sqrt {\ln x} \, dx=\int _0^1 t (2te^{t^2}) \, dt=[te^{t^2}]_0^1-\int _0^1 e^{t^2} \, dt=e-\int _0^1 e^{x^2} \, dx}$

Σωστά.

Αυτό που είχα κατά νου ως εφαρμογή των παραπάνω είναι ότι η αντίστροφη της $f(x) = e^{x^2}$ στο [0,1]

ειναι ακριβώς η $f^{-1}(x) = \sqrt {\ln x}$ στο [1,e]

.

Tolaso J Kos · #350

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 6:31 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 11:44 am
Κάποια στιγμή θα αναρτήσω και άλλη άσκηση στην ίδια ιδέα. Προσθέτω ότι και σε κάποιον ΑΣΕΠ υπήρχε θέμα που απαιτούσε την ίδια αυτή ιδέα.
Για λόγους πληρότητας αναρτώ τέτοια άσκηση από τον ΑΣΕΠ 2002, αλλά νομίζω ότι υπάρχει και άλλη. Αν την βρει κανείς, ας την αναρτήσει.

Δε ξέρω ποιο είναι το άλλο θέμα στο ΑΣΕΠ αλλά βάζω μία που έχω στο βιβλίο μου ...

Άσκηση 113

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+e^{x^3}} + \int_{1}^{e} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+\sqrt[3]{\ln x}} = \ln \left ( 1 + \frac{e}{2} \right )}$

Tolaso J Kos · #351

Άσκηση 114

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin 2015x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} - \sum_{k=1}^{504}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}$

Υπόδειξη: Αναγωγικός τύπος ...

#352

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 10:48 pm
Άσκηση 113

Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+e^{x^3}} + \int_{1}^{e} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+\sqrt[3]{\ln x}} = \ln \left ( 1 + \frac{e}{2} \right )}$

Δεν το βλέπω να είναι στην κατηγορία των ολοκληρωμάτων που συζητάμε. Βάζω (απλή) λύση, ανεξάρτητα.

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα η αλλαγή μεταβλητής $\sqrt[3]{\ln x} =y$ , ισοδύναμα $x=e^{y^3}$ , το μετατρέπει σε

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{3y^2e^{y^3}}{1+e^{y^3}+y}dy$ (και αλλάζω τώρα το όνομα της μεταβλητής σε

)

Άρα το ζητούμενο άθροισμα ολοκληρωμάτων ισούται

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+e^{x^3}} +\int_{0}^{1} \frac{3x^2e^{x^3}}{1+e^{x^3}+x}dx = \int_{0}^{1} \frac{1+3x^2e^{x^3}}{1+x+e^{x^3}}dx = \int_{0}^{1} \frac{(1+x+e^{x^3})'}{1+x+e^{x^3}}dx=$

$=\left [\ln \left (1+x+e^{x^3}\right )\right ]_0^1= \ln (2+e) - \ln 2= \ln \left ( 1 + \frac{e}{2} \right )$

Προσθήκη αργότερα. Η παραπάνω μέθοδος γενικεύεται βέβαια (άμεσο) στον τύπο

$\displaystyle{\boxed{ \int _a^b \dfrac {dx}{1+x+ f(x) } + \int _{f(a)}^{f(b)} \dfrac {dx}{1+x+ f^{-1}(x) }= \ln \dfrac { 1+b+f(b)}{1+a+ f(a) } } }$

για συνεχείς και αντιστρέψιμες $f:[a,\, b] \longrightarrow \mathbb R$

Tolaso J Kos · #353

Άσκηση 115

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}x}{\left ( x^3+1 \right ) \left ( x^2+1 \right )}}$ .

Tolaso J Kos · #354

Άσκηση 116

Η

είναι πολυωνυμική συνάρτηση η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $\mathrm{A} (0, 1)$ , $\mathrm{B} (1, e)$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x)}{x^2} \, \mathrm{d}x=\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x)}{x^2}\, \mathrm{d}x }$

#355

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 12:21 am
Άσκηση 115

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}x}{\left ( x^3+1 \right ) \left ( x^2+1 \right )}}$ .

Με αλλαγή μεταβλητής $x=\dfrac {1}{y}$ έχουμε

$\displaystyle{ I = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\left ( \frac {1}{y^3}+1 \right ) \left ( \frac {1}{y^2} +1 \right )}\cdot \frac {1}{y^2}dy= \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{y^3}{\left ( y^3+1 \right ) \left ( y^2+1 \right )}\,dy}$

Άρα

$\displaystyle{2I = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1+x^3}{\left ( x^3+1 \right ) \left ( x^2+1 \right )}\,dx= \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{ x^2+1 }\,dx = \left [ \arctan x \right ]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \dfrac {\pi}{3} - \dfrac {\pi }{6}} }$

από όπου $I= \dfrac {\pi }{12}$

#356

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 12:32 am
Άσκηση 116

Η είναι πολυωνυμική συνάρτηση η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $\mathrm{A} (0, 1)$ , $\mathrm{B} (1, e)$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x)}{x^2} \, \mathrm{d}x=\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x)}{x^2}\, \mathrm{d}x }$

Οι υποθέσεις είναι $f(0)=1,\, f'(0)=0,\, f(1)=e,\, f'(1)=0$ .

Με χρήση του τύπου στην Άσκηση 110, αφού πρώτα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x=e^y

, έχουμε

$\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x)}{x^2} \, dx-\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x)}{x^2}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{f''(y)}{e^{2y}} e^y\, dy-\int_{0}^{1} \frac{f(y)}{e^{2y}}e^y\,dy=$

$\displaystyle{= \int _0^1 e^{-y} (f''(y)-f(y) ) \,dy = \left [ e^{-y} f'(y)+ e^{-y} f(y)\right ]_0^1 = }$

$\displaystyle{= \left ( e^{-1} f'(1)+ e^{-1} f(1)\right ) - \left ( e^{-0} f'(0)+ e^{-0} f(0)\right )= 0+e^{-1}e-0-1=0}$ , από όπου η ζητούμενη ισότητα.

Tolaso J Kos · #357

Μιχάλη βλέπω έκανες ωραίο adaptation του τύπου στην $\#110$ . Αυτό που είχα στο μυαλό μου ήταν το πιο κλασσικό:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x)}{x^2} \, \mathrm{d}x &= \int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x) \cdot \frac{1}{x}}{x}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{1}^{e} \frac{f''(\ln x) \left ( \ln x \right )'}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{1}^{e} \frac{\left ( f'(\ln x) \right )'}{x}\, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \frac{f'(\ln x)}{x} \right ]_1^e + \int_{1}^{e} \frac{f'(\ln x)}{x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{1}^{e} \frac{\left ( f (\ln x) \right )'}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \frac{f(\ln x)}{x} \right ]_1^e + \int_{1}^{e} \frac{f(\ln x)}{x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{1}^{e} \frac{f(\ln x)}{x^2}\, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
και το ζητούμενο έπεται.

Tolaso J Kos · #358

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 11:44 am
Κάποια στιγμή θα αναρτήσω και άλλη άσκηση στην ίδια ιδέα. Προσθέτω ότι και σε κάποιον ΑΣΕΠ υπήρχε θέμα που απαιτούσε την ίδια αυτή ιδέα.

Άσκηση 117

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{1}^{e} \left ( x^{\ln x} + e^{\sqrt{\ln x}} \right ) \, \mathrm{d}x = e^2-1}$ .

#359

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 9:59 am
Άσκηση 117

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{1}^{e} \left ( x^{\ln x} + e^{\sqrt{\ln x}} \right ) \, \mathrm{d}x = e^2-1}$ .

Για την $f(x)= x^{\ln x}$ στο [1,e]

, ας βρoύμε την αντίστροφη: Θέλουμε να λύσουμε την $x=y^{\ln y}$ . Παίρνοντας λογάριθμο έχουμε $\ln x= \ln y^{\ln y} = (\ln y) (\ln y) = (\ln y)^2$ . Άρα $\ln y = \sqrt {\ln x}$ , δηλαδή $y= e^{\sqrt {\ln x}}$ , που είναι η δεύτερη συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα. Επίσης το σύνολο τιμών της

είναι $[f(1),\, f(e)]=[1,\,e]$ (το ίδιο με το πεδίο ορισμού). Συνεπώς από τον τύπο

$\boxed {\int _a^b f(x)dx + \int _{f(a)} ^ {f(b) }f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)}$

το ζητούμενο ολοκλήρωμα ισούται $e\cdot e - 1\cdot 1 = e^2-1$ .

Tolaso J Kos · #360

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 18, 2022 1:35 pm
Άσκηση 114

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin 2015x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} - \sum_{k=1}^{504}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}$

Υπόδειξη: Αναγωγικός τύπος ...

Φίλος μου ζήτησε σε προσωπικό μήνυμα να αναρτήσω λύση για την άσκηση αλλά ας όψεται ο χρόνος. Η αλήθεια είναι πως είναι απαιτητική για τη Γ' Λυκείου. Την επαναφέρω ... και αν δεν απαντήσει κάποιος θα αναρτήσω τη λύση που έχω.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση