Απόσταση ορθοκέντρων

#1

: Απόσταση ορθοκέντρων και όχι μόνο.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με b>c

και

είναι τα ορθόκεντρα

των τριγώνων ABD, ACD

αντίστοιχα. Αν η

τέμνει την

στο

να υπολογίσετε με όποια σειρά

θέλετε τα μήκη των τμημάτων HF, HE

συναρτήσει των b, c.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 05, 2022 11:37 am
Απόσταση ορθοκέντρων και όχι μόνο.png
είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με και είναι τα ορθόκεντρα

των τριγώνων αντίστοιχα. Αν η τέμνει την στο να υπολογίσετε με όποια σειρά

θέλετε τα μήκη των τμημάτων συναρτήσει των

Έστω $T\equiv BH\cap AC$ . Τότε προφανώς το τρίγωνο $\vartriangle ABT$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές (

ευθεία ύψους και διχοτόμου) οπότε AT=AB=c

και με $HT\parallel EC$ (κάθετες στην

) και $HE\parallel CT$ (κάθετες στην

) προκύπτει ότι HTCE

είναι παραλληλόγραμμο , άρα HE=CT=CA-AT=CA-AB=b-c

: Αποστάσεις ορθοκέντρων.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Με $\angle DAC={{45}^{0}}\overset{AD\bot CF}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle ACF={{45}^{0}}$ οπότε $AF=CD=\dfrac{ab}{b+c}:\left( 1 \right)$ (γνωστή πρόταση: Αν

είναι το απόστημα στην χορδή

του περίκυκλου $\left( O \right)$ του τριγώνου $\vartriangle AFC\overset{\angle AOF=2\left( \angle ACF \right)={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,AF=2OM=CD$ ).

Με $HE\parallel AC\overset{\Theta \alpha \lambda \eta \varsigma }{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{FH}{AF}=\dfrac{HE}{AC}\overset{AF=CD}{\mathop{\Rightarrow }}\,FH=\dfrac{HE}{AC}\cdot CD\Rightarrow$ $FH=\dfrac{b-c}{b}\cdot \dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{a\left( b-c \right)}{b+c}\overset{a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}(\Pi .\Theta )}{\mathop{\Rightarrow }}\,FH=\dfrac{(b-c)\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{b+c}$

Απόσταση ορθοκέντρων

Απόσταση ορθοκέντρων

Re: Απόσταση ορθοκέντρων

Μέλη σε σύνδεση