Ανισότητα σε τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι σε όλα τα τρίγωνα ABC

ισχύει

$\displaystyle{\max \left \{ \sum \frac{r_a}{r_a^2+ r_br_c} , \sum \frac{h_a}{h_a^2 + h_bh_c} \right \} \leq \frac{1}{2r}}$

#2

Γράφουμε

. Τότε $\displaystyle r_a = \frac{E}{x} = \frac{(x+y+z)r}{x}$ κ.τ.λ. οπότε

$\displaystyle \displaystyle{\sum \frac{r_a}{r_a^2+r_br_b} = \frac{xyz}{(x+y+z)r} \sum \frac{1}{x^2+yz} \leqslant \frac{xyz}{4(x+y+z)r} \sum \left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \right) = \frac{1}{2r}}$

Στην ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι $\displaystyle \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geqslant \frac{2}{\sqrt{x^2yz}} \geqslant \frac{4}{x^2+yz}$

Για την άλλη ανισότητα, αφού $\displaystyle h_a = \frac{2E}{a} = \frac{(a+b+c)r}{a}$ , η απόδειξη είναι παρόμοια.

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση