Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

#1

: Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Το

είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $a=2\sqrt 3.$ Μία ευθεία που διέρχεται

από την κορυφή

τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα D, E.

α) Αν $DE=\sqrt 3,$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου DEC.

β) Προαιρετικό: Μπορούμε άραγε να βρούμε το ${(DEC)_{\max }};$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ! Για το α): Μυρίστηκα το $\Phi$ και .. .. μπήκα!

Βρίσκω τελικά $\left ( DEC \right )=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Phi$ (όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός). Οφείλω αν δεν καλυφθεί, να επανέλθω.

Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα! Ας δουμε λοιπόν την πορεία για το ως άνω αποτέλεσμα , με χρήση του σχήματος:

: 12-4 Εμβαδόν τριγώνου...png (244.92 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Το ισόπλευρο ABC

έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ και ημιπερίμετρο $3\sqrt{3}$ άρα OD=OE=1

.

Στο ορθ. τρίγωνο ODH

είναι $DH=\sqrt{3}/2$ και με το Π.Θ OH=1/4=OD/2

, ενώ $\widehat{ODH}=30^o$ .

Στο ορθ. AOH

έχουμε

και πάλι με Π.Θ $AH =\sqrt{15}/2$

Έτσι $\eta \mu \theta =1/4$ και $\sigma \upsilon \nu \theta =\sqrt{15}/4$ οπότε $\sigma \upsilon \nu \widehat{DAC}=\sigma \upsilon \nu \left ( 30^o+\theta \right )=..\dfrac{3\Phi -2}{4}$ .

Ακόμη $AD=AH-DH=..=\sqrt{3}\left ( \Phi -1 \right )$

Ο νόμος συνημιτόνου στο τρίγωνο DAC

μας δίνει $CD= \Phi \sqrt{3}$ ενώ και $AE=AD+DE=\Phi \sqrt{3}$ .

Τώρα τα τρίγωνα DOC

και

είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα $\widehat{DOC}=\widehat{AEO}=30^o$ και $\widehat{EDC}=60^o$

Τελικά παίρνουμε $\left ( DEC \right )=\dfrac{1}{2}DE\cdot DC\cdot \eta \mu 60^o=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Phi$

Φιλικά, Γιώργος.

#4

Αφού ευχαριστήσω τον Γιώργο για την κάλυψη του θέματος, ας δώσω μία προσέγγιση για το προαιρετικό.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, ο κύκλος έχει εξίσωση x^2+(y-1)^2=1.

Αν $\displaystyle \lambda$ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης

της ευθείας ADE,

τότε η εξίσωσή της είναι $y=\lambda x+3.$ Θα βρω τις συντεταγμένες των D, E

λύνοντας το σύστημα:

: Προαιρετικό.png (15.66 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} y = \lambda x + 3\\ \\ {x^2} + {(\lambda x + 2)^2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \lambda x + 3\\ \\ ({\lambda ^2} + 1){x^2} + 4\lambda x + 3 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} - {x_E} = \dfrac{{2\sqrt {{\lambda ^2} - 3} }}{{{\lambda ^2} + 1}}\\ \\ {y_D} - {y_E} = \dfrac{{2\lambda \sqrt {{\lambda ^2} - 3} }}{{{\lambda ^2} + 1}} \end{array} \right.$

απ' όπου $\displaystyle DE = \frac{{2\sqrt {{\lambda ^2} - 3} }}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }}.$ Το ύψος που αντιστοιχεί στην

είναι $\displaystyle h = d\left( {C,DE} \right) = \frac{{|\lambda \sqrt 3 + 3|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }}$

Άρα, $\displaystyle (DEC) = \frac{{(\lambda \sqrt 3 + 3)\sqrt {{\lambda ^2} - 3} }}{{{\lambda ^2} + 1}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{{(DEC)_{\max }} = \sqrt {\frac{{39\sqrt {13} - 105}}{8}} }$ για $\boxed{\lambda = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}$

Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση