Ενδιαφέρον τοπίο

[KARKAR]

Ενδιαφέρον τοπίο.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Τα τμήματα και είναι εφαπτόμενα στον κύκλο μας . Το σημείο κινείται σε τόξο του κύκλου ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετος της να τέμνει την σε σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Δείξτε επιπλέον ότι η γωνία , είναι ορθή . ( Συμπλήρωση , βλέπε παρακάτω ) .

[Mihalis_Lambrou]

Ενδιαφέρον τοπίο.pngΤα τμήματα και είναι εφαπτόμενα στον κύκλο μας . Το σημείο κινείται σε τόξο του κύκλου ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετος της να τέμνει την σε σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Ίσως δεν βλέπω κάτι: Δεν βλέπω να παίζει κανένα ρόλο το και οι εφαπτόμενες. Όπως το αντιλαμβάνομαι, δίνεται ο κύκλος και δύο σημεία πάνω του. Ζητάμε τον γ.τ. της τομής της μεσοκαθέτου στο με το , καθώς το κινείται στο τόξο . Με αυτό κατά νου:

Αφού , έχουμε και άρα ίσον σταθερό, αφού το βλέπει σταθερή χορδή . Άρα το κινείται και αυτό σε τόξο καθώς βλέπει σταθερό ευθύγραμμο τμήμα υπό σταθερή γωνία.

[Mihalis_Lambrou]

Δείξτε επιπλέον ότι η γωνία , είναι ορθή . ( Συμπλήρωση , βλέπε παρακάτω ) .

Παραθέτω, λοιπόν, λύση και του συμπληρωματικού ερωτήματος.

Το κέντρο του κύκλου είναι και αυτό σημείο του τόπου: Προκύπτει από την περίπτωση που το είναι αντιδιαμετρικό του (γιατί τότε η μεσοκάθετος της διέρχρεται από το κέντρο του κύκλου).

Άρα έχουμε , που σημαίνει ότι , όπως θέλαμε.