Δύο νέα τμήματα

KARKAR · #1

: Δύο νέα τμήματα.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Το

είναι το ύψος προς την υποτείνουσα

του - γνωστών πλευρών - ορθογωνίου τριγώνου ABC

.

Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο

, ώστε :

και από το

φέρουμε την παράλληλη

προς την

, η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε τα τμήματα : CF , EF

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2022 11:50 am
Δύο νέα τμήματα.pngΤο είναι το ύψος προς την υποτείνουσα του - γνωστών πλευρών - ορθογωνίου τριγώνου .

Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : και από το φέρουμε την παράλληλη

προς την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

: Δύο νέα τμήματα.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

$\displaystyle \frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{DC}}{{CF}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{bc}}{a}}}{c} = \frac{{\frac{{{b^2}}}{a}}}{{CF}} \Leftrightarrow$ $\boxed{CF=b}$

$\displaystyle \frac{{AD}}{{DE}} = \frac{b}{{EF}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{bc}}{a}}}{{\frac{{bc}}{a} + c}} = \frac{b}{{EF}} \Leftrightarrow$ $\boxed{EF=a+b}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2022 11:50 am
Δύο νέα τμήματα.pngΤο είναι το ύψος προς την υποτείνουσα του - γνωστών πλευρών - ορθογωνίου τριγώνου .

Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : και από το φέρουμε την παράλληλη

προς την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

Το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου EBF

και το τρίγωνο EBF

είναι ισοσκελές με BF=EF

Οπότε

H απόδειξη Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα CBD,AET

είναι ίσα

, $AB=AE=c,DB=ET,AD=AT,\hat{BAD}=\omega =\hat{CFE},\hat{ADT}=\hat{ATD}=\dfrac{1}{2}\omega ,\hat{CFA}=\hat{AFE}=\dfrac{1}{2}\omega ,SF\perp EB\Rightarrow BF=EF$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2022 11:50 am
Δύο νέα τμήματα.pngΤο είναι το ύψος προς την υποτείνουσα του - γνωστών πλευρών - ορθογωνίου τριγώνου .

Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : και από το φέρουμε την παράλληλη

προς την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

Επειδή $BA \bot AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC//EF \Rightarrow BA \bot EF$ , άρα το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle BAF$ .

Αφού τώρα $FA \bot BE\,$ και το τρίγωνο ABF

ισοσκελές με κορυφή το

η ευθεία

είναι μεσοκάθετη στο

οπότε: $BF = EF\,\,\left( 1 \right)$ .

: Δύο νέα τμήματα.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Αλλά έτσι η

είναι και διχοτόμος της γωνίας $\widehat {BFA}$ , δηλαδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ και λόγω της

παραλληλίας των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EF$ θα είναι τελικά : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ , οπότε $\boxed{CF = CA = b}$ .

Τώρα λόγω της $\left( 1 \right)$ θα είναι $\displaystyle \boxed{EF = BF = a + b}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2022 11:50 am
Δύο νέα τμήματα.pngΤο είναι το ύψος προς την υποτείνουσα του - γνωστών πλευρών - ορθογωνίου τριγώνου .

Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : και από το φέρουμε την παράλληλη

προς την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

είναι ορθόκεντρο του $\triangle EBF$ άρα $\angle AFN= \theta$

Με $AK//CF \Rightarrow EA \bot AK \Rightarrow \angle EAN= \angle AKE=2 \theta \Rightarrow AK=KF$

άρα ACFK

ρόμβος ,συνεπώς CF=AC=b

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ABC,AEK

έχουν ίσες κάθετες πλευρές ,είναι ίσα ,άρα

EK=a

και

: Δυο νέα τμήματα.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

nickchalkida · #6

Εύκολα βρίσκω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \triangle ADB = \triangle AEH \rightarrow AD=AH=CL \rightarrow \triangle ADC = \triangle CLF \rightarrow CF =AC = b \cr & EF = EH +HL + LF = BD + AC +DC = BC + AC = a + b \cr \end{aligned} }$

Δύο νέα τμήματα

Δύο νέα τμήματα

Re: Δύο νέα τμήματα

Re: Δύο νέα τμήματα

Re: Δύο νέα τμήματα

Re: Δύο νέα τμήματα

Re: Δύο νέα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση