Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

#1

Έστω

τρίγωνο με $\hat A =60^o$ . Aν ότι η ευθεία Euler τέμνει τις πλευρές AB, AC

στα

, αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τρίγωνο ADE

είναι ισόπλευρο.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:45 pm
Έστω τρίγωνο με $\hat A =60^o$ . Aν ότι η ευθεία Euler τέμνει τις πλευρές στα , αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

: Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-αρα.png (28.83 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Αν

το απόστημα στην πλευρά

, τότε με $\angle A={{60}^{0}}\overset{\angle BOC={{120}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,OM=\dfrac{R}{2}\overset{AH=2OM}{\mathop{\Rightarrow }}\,AH=R=AO$ (γνωστή πρόταση) όπου

το ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα $\angle DHA=\angle EOA\overset{\angle DAH=\angle EAO={{90}^{0}}-\angle B,AH=AO}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle ADH=\vartriangle AEO$ $\Rightarrow AD=AE\overset{\angle DAE={{60}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle ADE$ ισόπλευρο (ισοσκελές με μια 60 – άρα )

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:45 pm
Έστω τρίγωνο με $\hat A =60^o$ . Aν ότι η ευθεία Euler τέμνει τις πλευρές στα , αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Παρεμφερές .

Ας είναι ,

το περίκεντρο ,

το ορθόκεντρο ,

το μέσο του

,

το ύψος του $\vartriangle ABC$ και

ο νότιος πόλος .

Πάντα $OM// = \dfrac{{AH}}{2}$ επειδή όμως $\widehat {BAC} = 60^\circ$ το

είναι μέσο του

και άρα

,

δηλαδή το τετράπλευρο AHSO

είναι ρόμβος και οι διαγώνιοι του θα τέμνονται κάθετα και θα διχοτομούν τις γωνίες του .

: Ευθεία Euler με εξηντάρα.png (26.1 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Όμως η διχοτόμος μια γωνίας τριγώνου είναι ταυτόχρονα διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν το ύψος και η διάμετρος

του περιγεγραμμένου κύκλου που άγονται από την ίδια κορυφή .

Εδώ λοιπόν αν

το σημείων τομής των διαγώνιων του πιο πάνω ρόμβου , η

είναι διχοτόμος και ύψος στο $\vartriangle ADE$ ,

αυτό θα είναι ισοσκελές , άρα και ισόπλευρο γιατί η γωνία της κορυφής του είναι $60^\circ$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:45 pm
Έστω τρίγωνο με $\hat A =60^o$ . Aν ότι η ευθεία Euler τέμνει τις πλευρές στα , αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Με

περίκεντρο του τριγώνου ABC

,είναι $\angle BHC= \angle BOC=120^0 \Rightarrow B,H,O,C$ ομοκυκλικά

Άρα $\angle DHB= \angle OCB=30^0 \Rightarrow \angle ADE=60^0 \Rightarrow \triangle ADE$ ισόπλευρο

: ισόπλευρο.png (23.53 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

STOPJOHN · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:45 pm
Έστω τρίγωνο με $\hat A =60^o$ . Aν ότι η ευθεία Euler τέμνει τις πλευρές στα , αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Εστω $OS\perp AB,OZ\perp AC$ Τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα $AIB,A\Theta C$ είναι

$AI=\dfrac{c}{2},SA=SB=\frac{c}{2},AS=AI=SI,$ δηλαδή το τρίγωνο ASI

είνναι ισόπλευρο

Ομοίως το τρίγωνο $A\Theta Z$ είναι ισόπλευρο και $SI//\Theta Z$ ,το τετράπλευρο

$SIZ\Theta$ είναι ισοσκελές τραπέζιο .Ακόμη SJ=JI,AS=AI

Αρα η

είναι

μεσοκάθετη στο τμήμα

$HJ=JO,\hat{HJM}=\hat{MJO}=60^{0} \Rightarrow JM\perp DE\Rightarrow \Theta Z//DE,AD=AE,\hat{A}=60^{0}, ADE$

ισόπλευρο

Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Re: Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Re: Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Re: Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Re: Ευθεία Euler σε τρίγωνο με 60-άρα

Μέλη σε σύνδεση