Και συνημίτονο έχω

KARKAR · #1

: Και συνημίτονο έχω.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Στο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , υπολογίστε το : $\cos \omega$ .

Μπορείτε πρώτα - αν θέλετε - να δείξετε ότι : $\omega=2\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 27, 2022 12:30 pm
Και συνημίτονο έχω.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , υπολογίστε το : $\cos \omega$ .

Μπορείτε πρώτα - αν θέλετε - να δείξετε ότι : $\omega=2\theta$ .

$\widehat {TSC}= \widehat T = 90 -\theta$ , άρα $\omega = 180-2(90-\theta) = 2\theta$ . Επίσης, $\cos \theta = \dfrac {OA}{OT} = \dfrac {r}{r+r/2} =\dfrac {2}{3}$ , άρα $\cos \omega = 2 \cos ^2 \theta -1 = 2\cdot \dfrac {2^2}{3^2}-1 =- \dfrac {1}{9}$ .

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 27, 2022 12:30 pm
Και συνημίτονο έχω.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , υπολογίστε το : $\cos \omega$ .

Μπορείτε πρώτα - αν θέλετε - να δείξετε ότι : $\omega=2\theta$ .

: Και συνημίτονο έχω.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Έστω $r = 2k \Rightarrow CT = k$ . Η από το

παράλληλη στην

θα τέμνει κάθετα στο μέσο

τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου CST

.

Αν θέσω TM = m

κι επειδή

θα είναι $AM = 2MT \Rightarrow AS + m = 2m \Rightarrow AS = m$ .

$AT = \sqrt {9{k^2} - 4{k^2}} = k\sqrt 5 = 3m \Rightarrow \boxed{m = \dfrac{{k\sqrt 5 }}{3}}$ , οπότε από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle CST$ είναι :

$\cos \omega = \dfrac{{{k^2} + {k^2} - 4{m^2}}}{{2{k^2}}} = \dfrac{{{k^2} - 2{m^2}}}{{{k^2}}} = \dfrac{{{k^2} - 2\dfrac{{5{k^2}}}{9}}}{{{k^2}}} = - \dfrac{1}{9}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 27, 2022 12:30 pm
Και συνημίτονο έχω.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , υπολογίστε το : $\cos \omega$ .

Μπορείτε πρώτα - αν θέλετε - να δείξετε ότι : $\omega=2\theta$ .

Με

μέσον της

έχουμε $DS \bot TA \Rightarrow DS//OA$ κι εύκολα $TS= \dfrac{r \sqrt{5} }{3}$

Επειδή TS^2>2CS^2

η γωνία $\omega$ είναι αμβλεία

$\dfrac{OA}{DS}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{2(TCS)}{(TOA)}= \dfrac{4}{9} \Rightarrow \dfrac{ \frac{r^2}{4}sin \omega }{ \dfrac{r^2 \sqrt{5} }{2} } = \frac{2}{9} \Rightarrow sin^2 \omega = \dfrac{80}{81} \Rightarrow cos \omega =- \dfrac{1}{9}$

: cosω.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Και συνημίτονο έχω

Και συνημίτονο έχω

Re: Και συνημίτονο έχω

Re: Και συνημίτονο έχω

Re: Και συνημίτονο έχω

Μέλη σε σύνδεση