Πώς μας ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;

KARKAR · #1

: Πώς μα ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Η κορυφή

του τριγώνου ABC

, κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου BC=2r

. Η διχοτόμος

της γωνίας $\hat{A}$ , τέμνει την διάμετρο στο σημείο

. Μελετήστε την μεγιστοποίηση του (ADC)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 15, 2022 1:54 pm
Πώς μα ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;.pngΗ κορυφή του τριγώνου , κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Η διχοτόμος

της γωνίας $\hat{A}$ , τέμνει την διάμετρο στο σημείο . Μελετήστε την μεγιστοποίηση του .

Θεωρώ ότι σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xAy

, τα σημεία $B\left( {k,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C\left( {0,m} \right)\,$ ολισθαίνουν στου θετικούς ημιάξονες με BC = 1

(σταθερό )

Εννοείται ότι τα $k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m$ είναι θετικοί μικρότεροι του

.

Η διχοτόμος $AD \to y = x$ ενώ η $BC \to \dfrac{x}{k} + \dfrac{y}{m} = 1$ και άρα , $D\left( {\dfrac{{km}}{{k + m}},\dfrac{{km}}{{k + m}}} \right)$ .

: Πώς μας ξέφυγε αυτό το μέγιστο_Αναλυτική Γεωμετρία_1.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Έτσι $E\left( k \right) = \dfrac{1}{2}\left| {\det (\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} )} \right| = \dfrac{1}{2}\dfrac{{k{m^2}}}{{\left( {k + m} \right)}}$ . Επειδή ${m^2} + {k^2} = 1 \Rightarrow {m^2} = 1 - {k^2}$ και έτσι :

$\boxed{\left( {ADC} \right) = E\left( k \right) = \dfrac{{k\left( {1 - {k^2}} \right)}}{{2\left( {k + \sqrt {1 - {k^2}} } \right)}}}$

που με παραγώγους βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{k = \sqrt {\sqrt[3]{{\dfrac{{\sqrt {78} }}{{288}} - \dfrac{1}{{216}}}} - \sqrt[3]{{\dfrac{{\sqrt {78} }}{{288}} + \dfrac{1}{{216}}}} + \dfrac{1}{3}} }$ με ${E_{\max }} \simeq 0,13847659$

Γενικά αν αντί

έχω μήκος

τα αποτελέσματα πολλαπλασιάζονται με $d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{d^2}$ αντίστοιχα.

Πώς μας ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;

Πώς μας ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;

Re: Πώς μας ξέφυγε αυτό το μέγιστο ;

Μέλη σε σύνδεση