Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 2ης μέρας της 3ης φάσης για την 9η τάξη. 5 Φεβρουαρίου 2022.

1. Η ακολουθία αριθμών $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022}$ είναι τέτοια, ώστε $a_{n}-a_{k} \geq n^3-k^3$ για οποιαδήποτε

και

, με $1 \leq n \leq 2022$ και $1 \leq k \leq 2022$ . Εξάλλου $a_{1011}=0$ . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο $a_{2022}$ ; (Ν. Αγκαχάνοβ)

2. Ο Πέτρος διαμέρισε ένα τετραγωνισμένο τετράγωνο διαστάσεων $100 \times 100$ με κάποιο τρόπο σε ντόμινο, ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 2$ και σε κάθε ντόμινο σύνδεσε τα κέντρα των κελιών του με ένα μπλε ευθύγραμμο τμήμα. Ο Βασίλης θέλει να διαμερίσει το ίδιο τετράγωνο σε ντόμινο με ένα δεύτερο τρόπο και σε κάθε δικό του ντόμινο να ενώσει τα κέντρα των κελιών με κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα. Ο Βασίλης θέλει να το κάνει αυτό, ώστε να επιτύχει από κάθε κελί να μπορεί να μεταβεί σε οποιοδήποτε άλλο, κινούμενος σε μπλε και κόκκινα τμήματα. Μπορεί οπωσδήποτε να το επιτύχει αυτό; (Ε. Μπακάεβ)

3. Στο τραπέζιο ABCD

η διαγώνιος

είναι ίση με την βάση

. Οι διαγώνιοι

και

τέμνονται στο σημείο

. Το σημείο

του τμήματος

διαλέγεται έτσι, ώστε EF || CD

. Να αποδείξετε ότι BE=DF

. (Α. Κουζνέτσοβ)

4. Στο επίπεδο δίνονται

σημεία. Οποιαδήποτε τρία από αυτά σχηματίζουν τρίγωνο, το μέτρο των γωνιών του οποίου σε μοίρες εκφράζεται με φυσικούς αριθμούς. Για ποιο μέγιστο

αυτό είναι δυνατό; (Ε. Μπακάεβ)

5. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει μη μηδενικός φυσικός αριθμός

τέτοιος, ώστε για οποιοδήποτε φυσικό n >b

το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

να είναι τουλάχιστον $10^{100}$ . (Ντ. Χραμτσόβ)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 10:09 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 2ης μέρας της 3ης φάσης για την 9η τάξη. 5 Φεβρουαρίου 2022.

3. Στο τραπέζιο η διαγώνιος είναι ίση με την βάση . Οι διαγώνιοι και τέμνονται στο σημείο . Το σημείο του τμήματος διαλέγεται έτσι, ώστε . Να αποδείξετε ότι . (Α. Κουζνέτσοβ)

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την βάση

στο

.

Επειδή το $\vartriangle DAB$ είναι ισοσκελές με βάση

, το τετράπλευρο ABET

είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις : $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET$ .

Αν θέσω , $DF = x\,\,,\,\,FT = k\,\,,\,\,TA = y$ θα είναι EB = y

αρκεί να δείξω ότι , x = y

.

: θέμα 3ο Ρώσικη Ολυμπιάδα.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

Από

έχω: $\dfrac{{x + k}}{{DA}} = \dfrac{{DE}}{{DB}}\,\,\left( 1 \right)$ όμοια , από EF//CD

, έχω: $\dfrac{{y + k}}{{DA}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( 2 \right)$

Αλλά από την ομοιότητα των τριγώνων , $EDA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EBC$ έχω:

$\dfrac{{DE}}{{EB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{DE + EB}} = \dfrac{{EA}}{{EA + EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{AC}}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Έτσι τα δεύτερα μέλη των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ είναι ίσα συνεπώς θα είναι και τα πρώτα , δηλαδή : $\dfrac{{x + k}}{{DA}} = \dfrac{{y + k}}{{DA}} \Rightarrow \boxed{x = y}$ , οπότε DF = EB

.

Ορέστης Λιγνός · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 10:09 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.

1. Η ακολουθία αριθμών $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022}$ είναι τέτοια, ώστε $a_{n}-a_{k} \geq n^3-k^3$ για οποιαδήποτε και , με $1 \leq n \leq 2022$ και $1 \leq k \leq 2022$ . Εξάλλου $a_{1011}=0$ . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο $a_{2022}$ ; (Ν. Αγκαχάνοβ)

Έστω

για όλα τα

. Τότε $b_n \geq b_k$ για κάθε n,k

, άρα η

είναι σταθερή, οπότε

$a_{2022}-2022^3=b_{2022}=b_{1011}=a_{1011}-1011^3=-1011^3,$

άρα $a_{2022}=2022^3-1011^3=7 \cdot 1011^3$ .

Ορέστης Λιγνός · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 10:09 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 2ης μέρας της 3ης φάσης για την 9η τάξη. 5 Φεβρουαρίου 2022.

3. Στο τραπέζιο η διαγώνιος είναι ίση με την βάση . Οι διαγώνιοι και τέμνονται στο σημείο . Το σημείο του τμήματος διαλέγεται έτσι, ώστε . Να αποδείξετε ότι . (Α. Κουζνέτσοβ)

Είναι,

$\dfrac{DF}{DA}=\dfrac{EC}{CA}=\dfrac{BE}{BD},$

και αφού AD=BD

, προκύπτει το ζητούμενο.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 10:09 pm

1. Η ακολουθία αριθμών $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022}$ είναι τέτοια, ώστε $a_{n}-a_{k} \geq n^3-k^3$ για οποιαδήποτε και , με $1 \leq n \leq 2022$ και $1 \leq k \leq 2022$ . Εξάλλου $a_{1011}=0$ . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο $a_{2022}$ ; (Ν. Αγκαχάνοβ)

$a_{2022}= a_{2022} - a_{1011}\ge 2022^3-1011^3$ και $- a_{2022} = a_{1011}-a_{2022}\ge 1011^3-2022^3$ .

Η δεύτερη δίνει $a_{2022}\le 2022^3-1011^3$ .

H τελευταία μαζί με την πρώτη δίνει $a_{2022}= 2022^3 -1011^3$ .

Εννοείται ότι, γενικότερα, η μέθοδος δίνει $a_{n}= n^3 -1011^3$ .

Edit; Tώρα είδα ότι απάντησε ο Ορέστης, όσο έγραφα.

Ορέστης Λιγνός · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 14, 2022 10:09 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 2ης μέρας της 3ης φάσης για την 9η τάξη. 5 Φεβρουαρίου 2022.

5. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει μη μηδενικός φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε για οποιοδήποτε φυσικό το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να είναι τουλάχιστον $10^{100}$ . (Ντ. Χραμτσόβ)

Ξεκινάμε με τον ακόλουθο Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός (IMO Shortlist 1993): Αν a,n

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο

να είναι πολλαπλάσιο του 10^n-1

, τότε ο

έχει τουλάχιστον

μη μηδενικά ψηφία.
Απόδειξη: Έστω προς άτοπο ότι υπάρχουν πολλαπλάσια του 10^n-1

με

μη μηδενικά ψηφία. Έστω s<n

ο ελάχιστος αριθμός μη μηδενικών ψηφίων που μπορεί να έχει ένα πολλαπλάσιο του 10^n-1

. Έστω τα εξής σύνολα:

$A= \{(10^n-1)k | \, k \in \mathbb{N} \},$
$B= \{x \in A | \, \text{\gr ο} \, x \, \text{\gr έχει} \, s \, \text{\gr μη μηδενικά ψηφία} \}$ και
$C= \{ x\in B | \, \text{\gr o} \, x \, \text{\gr έχει το ελάχιστο δυνατό άθροισμα ψηφίων} \}$

Θεωρούμε ένα $m \in C$ . Έστω $m=\overline{a_{s-1}a_{s-2} \ldots a_0}=a_{s-1}10^{s-1} \ldots+a_010^0$ με τα a_i

να είναι μη μηδενικά.

Θα δείξουμε ότι $a_i \neq a_j \pmod n$ για κάθε i,j

. Έστω ότι υπάρχουν δείκτες i,j

με $a_i \equiv a_j \equiv k \pmod n$ και έστω $Μ=\max a_i$ . Τότε, θεωρώ τον

$m'=m-a_i10^i-a_j10^j+(a_i+a_j)10^{nM+k},$

οπότε είναι

$m'-m=a_i(10^{nM+k}-10^i)+a_j(10^{nM+k}-10^j) \equiv a_i(10^k-10^i)+a_j(10^k-10^j) \equiv 0 \pmod {10^n-1},$

συνεπώς $m' \in A$ . Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: a_i+a_j <10

. Αφού

, προκύπτει ότι ο

έχει

μη μηδενικά ψηφία, που είναι άτοπο καθώς ο

ήταν ελάχιστος.

Περίπτωση 2: $a_i+a_j \geq 10$ . Έστω a_i+a_j=10+t

με $0 \leq t <10$ . Τότε,

$m'=m-a_i10^i-a_j10^j+10^{nM+k+1}+t10^{nM+k},$

οπότε όπως πριν $m' \in A$ και τώρα ο

έχει

μη μηδενικά ψηφία, οπότε $m' \in B$ . Τώρα όμως το άθροισμα των ψηφίων του

είναι

άτοπο αφού το s(m)

ήταν ελάχιστο $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, είναι $n \geq 10^{\lfloor \log n \rfloor }-1$ για κάθε

, οπότε και $10^{\lfloor \log n \rfloor }-1 \mid n!$ , άρα από τον Ισχυρισμό ο

έχει τουλάχιστον $\lfloor \log n \rfloor > \log n-1$ μη μηδενικά ψηφία, και αφού $\log n \rightarrow +\infty$ αν $n \rightarrow +\infty$ , προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση