Ιδιοτροπίες.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 37.png (7.5 KiB) Προβλήθηκε 1471 φορές

Στο παραπάνω σχήμα είναι BD=AC

.
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας <DBA

(

συνευθειακά).

Η LATEX δεν ανταποκρίνεται.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ! Με χρήση του σχήματος

: 10-2 Ιδιοτροπίες...png (122.44 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές

Σχηματίζω το ισόπλευρο AOC

και τον κύκλο (O,OA)

που τέμνει την

στο

Το τρίγωνο EDO

προκύπτει με γωνίες (20^o, 80^o,80^o)

άρα

δηλ το

συμπίπτει με το

.

Έτσι $\theta=\widehat{AOC}/2=30^o$ . Φιλικά, Γιώργος.

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 10, 2022 8:45 pm
37.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ( συνευθειακά).

Η LATEX δεν ανταποκρίνεται.

: Ιδιοτροπίες.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 1410 φορές

Φέρνω τη μεσοκάθετη του

και τέμνει την

στο

και προς το μέρος του

θεωρώ σημείο

, ώστε το $\vartriangle ZBD$ να είναι ισόπλευρο .

Άμεσες συνέπειες :

1. Το $\vartriangle ADE \to \left( {20^\circ ,80^\circ ,80^\circ } \right)$

2. $\vartriangle AEC = \vartriangle DAZ\,\left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right)$

3. AD = AE = EC = AZ

Μα τότε το τετράπλευρο ABZD

είναι χαρταετός και έτσι , $\widehat {{\theta _{}}} = 30^\circ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 10, 2022 8:45 pm
37.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ( συνευθειακά).

Η LATEX δεν ανταποκρίνεται.

Έστω $\theta \geq 40^0$ .Είναι $AC>AD \Rightarrow BD>AD \Rightarrow \phi > \theta$ .Άρα $\phi + \theta >2 \theta \geq80$

άτοπο αφού τότε το τρίγωνο ABC

θα είχε άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180^0

,συνεπώς $\theta <40^0$

Θεωρούμε τώρα το ισόπλευρο τρίγωνο BCI

οπότε $\angle ACI=20^0$

Έστω ακόμη DZ=//AC

οπότε $\angle DZB= \angle DBZ=20^0$ και AC=DZ=BD

Τότε, $\triangle IAC= \triangle DBZ ( \Pi - \Gamma - \Pi ) \Rightarrow AI=DB=AC$

( $\triangle BCZ$ ισοσκελές αφού $\angle BCZ= \angle CZB=80^0$ άρα BZ=BC=IC

)

Επομένως

μεσοκάθετη της

,άρα $\angle \theta =30^0$

: Ιδιοτροπίες.png (27.86 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 10, 2022 8:45 pm
37.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ( συνευθειακά).

Η LATEX δεν ανταποκρίνεται.

Έστω

τα μέσα των AB, AD, DC

αντίστοιχα. Τότε $\displaystyle MP = \frac{{AP}}{2} = \frac{{AC}}{2} = PN$ και

$M\widehat PN=140^\circ$ (είναι αμβλεία και έχει πλευρές παράλληλες με την $\widehat C=40^\circ$ ). Άρα, $\displaystyle P\widehat MN = P\widehat NM = 20^\circ$

: Ιδιοτροπίες.png (21.7 KiB) Προβλήθηκε 1322 φορές

$\displaystyle E\widehat ND = 20^\circ ,E\widehat DN = 80^\circ \Rightarrow EN = ND = NC \Leftrightarrow CE \bot AD,$ απ' όπου

$\displaystyle AE = \frac{{AC}}{2} = MP = ME \Rightarrow E\widehat MA = \omega = 50^\circ$ και κατά συνέπεια $\boxed{\theta=30^\circ}$

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 8:25 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 10, 2022 8:45 pm
37.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ( συνευθειακά).

Η LATEX δεν ανταποκρίνεται.
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε $\displaystyle MP = \frac{{AP}}{2} = \frac{{AC}}{2} = PN$ και

$M\widehat PN=140^\circ$ (είναι αμβλεία και έχει πλευρές παράλληλες με την $\widehat C=40^\circ$ ). Άρα, $\displaystyle P\widehat MN = P\widehat NM = 20^\circ$ Ιδιοτροπίες.png
$\displaystyle E\widehat ND = 20^\circ ,E\widehat DN = 80^\circ \Rightarrow EN = ND = NC \Leftrightarrow CE \bot AD,$ απ' όπου

$\displaystyle AE = \frac{{AC}}{2} = MP = ME \Rightarrow E\widehat MA = \omega = 50^\circ$ και κατά συνέπεια $\boxed{\theta=30^\circ}$

cool geometry · #7

Πάμε να δούμε και μία τριγωνομετρική λύση.
Το τρίγωνο $\bigtriangleup A\Delta \Gamma \rightarrow (40^{0},60^{0},80^{0}).$ Επομένως εφαρμόζοντας τον νόμο των ημιτόνων σε αυτό προκύπτει ότι $AC/AD=BD/AD=\sin 80^{0}/\sin 40^{0}=\sin 50^{0}/\sin 30^{0},$ οπότε τελικά οδηγούμαστε στην $\sin (80^{0}-\vartheta )/\sin \vartheta =\sin 50^{0}/\sin 30^{0}$ που με κάποιες ακόμα πράξεις μας δίνει $\vartheta =30^{0}.$

#8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 10, 2022 8:45 pm
37.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ( συνευθειακά).

: Ιδιοτροπίες Φάνη_new.png (30.76 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Κατασκευάζω το ισοσκελές τραπέζιο $AECD\,\,\left( {AE//DC} \right)$ και το ισόπλευρο τρίγωνο FDB

.

Το μεν ισοσκελές τραπέζιο AECD

είναι υπερισοσκελές ( DA = AE = EC

) , ενώ επειδή έχει ίσες διαγωνίους θα είναι : AC = DE = DB = BF = FD

.

Όμως έτσι θα είναι και AF = AD = AE = EC

, το τετράπλευρο AFBD

είναι χαρταετός οπότε $\boxed{\theta = 30^\circ }$ .

Ιδιοτροπίες.

Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Re: Ιδιοτροπίες.

Μέλη σε σύνδεση