Ελάχιστο συνημιτόνου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο συνημιτόνου.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Οι διάμεσοι

και

, τριγώνου ABC

τέμνονται κάθετα .

α) Υπολογίστε την πλευρά

, συναρτήσει των b , c

.

β) Επινοήστε συνάρτηση μιας μεταβλητής , η οποία να αποδίδει το $\cos A$

και βρείτε το ελάχιστό της . Φυσικά μπορείτε και χωρίς παραγώγους .

#2

Kαλημέρα σε όλους.

: Ελάχιστο συνημιτόνου.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Στο

είναι $\displaystyle B{S^2} + C{S^2} = {a^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}{\mu _b}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}{\mu _c}} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \mu _b^2 + \mu _c^2 = \frac{9}{4}{a^2}$

Από Θ. Διαμέσων στο ABC

είναι $\displaystyle \mu _b^2 = \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4},\;\;\mu _c^2 = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}$

οπότε $\displaystyle \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = \frac{{9{a^2}}}{4}$
$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} = \frac{1}{5}\left( {{c^2} + {b^2}} \right)$ .

Από Ν. Συνημιτόνων στο ABC

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{2}{5}\left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) \ge \frac{4}{5}$ , με το ίσον όταν είναι ισοσκελές με b = c

.

Νομίζω το 1ο ερώτημα ήταν κάποτε σχολική άσκηση (όταν τα θεωρήματα Διαμέσων ήταν εντός ύλης). Ο Θανάσης κάτι άλλο θα έχει στο μυαλό του, για να επιλέξει αυτόν τον φάκελο. Προφανώς αυτή τη λύση σκεφτόταν όταν έγραφε: "Φυσικά μπορείτε και χωρίς παραγώγους".

#3

Το πρώτο ερώτημα υπήρξε πράγματι σχολική άσκηση τα παλαιότερα χρόνια, όπως έγραψε και ο Γιώργος.

Για το άλλο ερώτημα, προκειμένου να έχω συνάρτηση μιας μεταβλητής, κάνω την παρακάτω κατασκευή.

: Ελάχιστο συνημιτόνου.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Από το

φέρνω κάθετη στην

και θεωρώ σημείο

ώστε

Θέτω $A\widehat EB=x.$

$\displaystyle \cos A = \frac{2}{5}\left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos A = \frac{2}{5}\left( {\tan x + \frac{1}{{\tan x}}} \right)}$

Τα υπόλοιπα ή απευθείας όπως ο Γιώργος (ή με παραγώγους) απ' όπου προκύπτει ότι $x=45^\circ,$ δηλαδή b=c

Ελάχιστο συνημιτόνου

Ελάχιστο συνημιτόνου

Re: Ελάχιστο συνημιτόνου

Re: Ελάχιστο συνημιτόνου

Μέλη σε σύνδεση