Τμήματα και ισοσκελές

KARKAR · #1

: Τμήμα και ισοσκελές.png (18 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Από σημείο

στην προέκταση της διαμέτρου

, κύκλου

, για το οποίο OS=d

,

φέρουμε τις εφαπτόμενες SC , SD

. Θεωρούμε σημείο $Q\not\equiv A$ του κύκλου , τέτοιο ώστε :

$\widehat{QOC}=\widehat{AOC}$ . Η

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε το τμήμα

... β) Δείξτε ότι : BT=BD

και υπολογίστε το τμήμα

.

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 40.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

Φέρνω τα τμήματα CD, CB, CQ

και θεωρώ ότι $\angle QOC=\angle COA=\varphi , \angle OSC=\theta$ .
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Συνέπεια των κόκκινων γωνιών είναι οι μπλε γωνίες.
Παρατηρώ ότι στο ισοσκελές τρίγωνο DCT

η

είναι μεσοκάθετος του

.
Άρα

.
Τα άλλα δύο ερωτήματα είναι εύκολα αφού CT=CD

και $\bigtriangleup BOQ\sim \bigtriangleup DSC$ .
Η απάντησή τους αύριο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 30, 2022 7:15 pm
Τμήμα και ισοσκελές.pngΑπό σημείο στην προέκταση της διαμέτρου , κύκλου , για το οποίο ,

φέρουμε τις εφαπτόμενες . Θεωρούμε σημείο $Q\not\equiv A$ του κύκλου , τέτοιο ώστε :

$\widehat{QOC}=\widehat{AOC}$ . Η τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Δείξτε ότι : και υπολογίστε το τμήμα .

$AQ//ST \Rightarrow \dfrac{OM}{r}= \dfrac{r}{d} \Rightarrow OM= \dfrac{r^2}{d} \Rightarrow QB=2OM= \dfrac{2r^2}{d}$

$\angle S_{1}= \angle A_{1}= \angle D_{1} \Rightarrow TBDS$ εγγράψιμμο $\Rightarrow BT=BD$

$AQ//SN \Rightarrow \dfrac{BQ}{BN}= \dfrac{BA}{BS} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{2r^2}{d} }{BN} = \dfrac{2r}{r+d} \Rightarrow BN= \dfrac{r(r+d)}{d} \Rightarrow NQ= \dfrac{r(d-r)}{d}$

$NC^2= \dfrac{TC^2}{4}=NQ.NB= \dfrac{r^2}{d^2} (d^2-r^2) \Rightarrow CT= \dfrac{2r}{d} \sqrt{d^2-r^2}$

Αλλιώς, πιο απλά για το τρίτο ερώτημα

Είναι, CQ=CA=AD

άρα

ισοσκελές τραπέζιο,οπότε TCAQ

παραλ/μμο άρα

$CT=AQ=\sqrt{AB^2-BQ^2} =... \dfrac{2r}{d} \sqrt{d^2-r^2}$

: τμήματα και ισοσκελές.png (59.14 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 30, 2022 7:15 pm
Τμήμα και ισοσκελές.pngΑπό σημείο στην προέκταση της διαμέτρου , κύκλου , για το οποίο ,

φέρουμε τις εφαπτόμενες . Θεωρούμε σημείο $Q\not\equiv A$ του κύκλου , τέτοιο ώστε :

$\widehat{QOC}=\widehat{AOC}$ . Η τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Δείξτε ότι : και υπολογίστε το τμήμα .

Φέρνω τη χορδή

της οποίας η τέμνουσα $\overline {SAB}$ είναι μεσοκάθετος , το δε σημείο τομής τους

είναι μέσο του

.

Ας είναι ακόμα :

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

. Θέτω

.

Από το ισοσκελές $\vartriangle OBQ$ έχω : $2\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {BOQ} = 180^\circ$ και από την ευθεία γωνία , $\widehat {AOB}$ , $2\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {BOQ} = 180^\circ$ άρα όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες .

Έτσι $OC//\overline {BQF}$ . Προφανές ότι τα μικρά τόξα τω χορδών , DA,AC,CQ

είναι ίσα οπότε:

Το τετράπλευρο ONFC

είναι ορθογώνιο , το ACQD

υπερισοσκελές τραπέζιο και το CAQT

παραλληλόγραμμο .

: Τμήματα και ισοσκελές.png (34.03 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Μετά απ’ αυτά :

α) $\vartriangle NOC = \vartriangle ONQ \Rightarrow x = NQ = OM = \dfrac{{O{C^2}}}{{OS}} = \dfrac{{{r^2}}}{d}$ , Άρα , $\boxed{BQ = 2x = \dfrac{{2{r^2}}}{d}}$

β) TQ = AC = CQ

δηλαδή η

μεσοκάθετος στο

, οπότε :

και

γ) $\boxed{CT = AQ = \sqrt {A{B^2} - B{Q^2}} = \sqrt {4{r^2} - \frac{{4{r^4}}}{{{d^2}}}} = \frac{{2r}}{d}\sqrt {{d^2} - {r^2}} }$

Απ ότι βλέπω τώρα είναι παρεμφερής η λύση, με του Μιχάλη .

nickchalkida · #5

α) $ST \parallel AQ \rightarrow \widehat{S_1} = \widehat{A_1} \rightarrow SCO \sim AQB$ άρα
$\displaystyle{ \bullet\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {QB \over 2r} = {r \over d} \rightarrow QB = {2r^2 \over d} \cr }$

β) $\widehat{S_1} = \widehat{A_1} = \widehat{D_1} \rightarrow TBDS \ \$ περιγράψιμο, άρα $\widehat{T_1} = \widehat{S_2}$ , και επειδή $\widehat{S_1} = \widehat{S_2} \rightarrow \widehat{T_1} = \widehat{D_1} \rightarrow TB = DB$

γ) $\widehat{C_1} = \widehat{Q_1} \rightarrow AC \parallel DT \rightarrow \widehat{C_1} = \widehat{Q_1} = \widehat{T_2} = \widehat{D_2}$ , άρα $TC=TD=2\ GC$ τότε
$\displaystyle{ \bullet\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ CGO \sim SCO \rightarrow \dfrac{r}{\dfrac{TC}{2}} = \dfrac{d}{\sqrt{d^2-r^2}} \rightarrow TC = \dfrac{2r}{d}\sqrt{d^2-r^2} }$

Τμήματα και ισοσκελές

Τμήματα και ισοσκελές

Re: Τμήματα και ισοσκελές

Re: Τμήματα και ισοσκελές

Re: Τμήματα και ισοσκελές

Re: Τμήματα και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση