Ορθογώνια βάσανα

KARKAR · #1

Άντε να βρεις φάκελο γι' αυτήν την άσκηση

: Ορθογώνια βάσανα.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με

, θεωρούμε τα ίσα

τμήματα : AO=AK=BT=BS=CQ=CP=x

.

Πόσο πρέπει να είναι το

, ώστε : $\omega+\theta=180^{\circ}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 12:18 pm
Άντε να βρεις φάκελο γι' αυτήν την άσκηση Ορθογώνια βάσανα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε τα ίσα

τμήματα : .

Πόσο πρέπει να είναι το , ώστε : $\omega+\theta=180^{\circ}$ ;

Με συντομευμένες πράξεις.

Αν D, E

είναι οι προβολές των Q, S

στις

αντίστοιχα, τότε εύκολα βρίσκω

$\displaystyle SE = CD = \frac{{3x}}{5},DQ = BE = \frac{{4x}}{5}$ και $\displaystyle DK = 3 - \frac{{8x}}{5},OE = 4 - \frac{{9x}}{5}.$

: Ορθογώνια βάσανα.png (16.65 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

$\displaystyle \tan \omega = \tan (\varphi + k) = ... = \frac{{12{x^2} - 47x + 60}}{{6{x^2} - 11x}}$

$\displaystyle \tan \theta = \tan (a + b) = ... = \frac{{12{x^2} - 47x + 60}}{{4{x^2} + x}}$

Αλλά, $\displaystyle \tan \omega = - \tan \theta,$ απ' όπου προκύπτει ότι $\boxed{x=1}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 12:18 pm
Άντε να βρεις φάκελο γι' αυτήν την άσκηση Ορθογώνια βάσανα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε τα ίσα

τμήματα : .

Πόσο πρέπει να είναι το , ώστε : $\omega+\theta=180^{\circ}$ ;

Ας είναι

το σημείο τομής των $KQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BO$ , ενώ

το σημείο τομής των $TK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP$ .

Επειδή $\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} = 180^\circ$ και αφού $\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {DKE} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {DKE}$ , οπότε το τετράπλευρο KDOE

είναι εγγράψιμο στον κύκλο $\left( {A,x} \right)$ .

Είναι $\widehat {{D_{}}} = \dfrac{1}{2}\widehat {OAK} = 45^\circ \,,\,\,\widehat {KEO} = 135^\circ$ και οι εξωτερικές στο

του τετραπλεύρου KDOE

, από $45^\circ$ .

: Ορθογώνια βάσανα.png (35.79 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Στα τρίγωνα $KEP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OTE$ οι εξωτερικές γωνίες τους στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ είναι :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {AKE} = 45^\circ + \widehat {{a_{}}} \hfill \\ \widehat {AOE} = 45^\circ + \widehat {{b_{}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ απ’ όπου με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: $135^\circ = 90^\circ + \widehat {{a_{}}} + \widehat {{b_{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_{}}} + \widehat {{b_{}}} = 45^\circ }$

Έτσι από $\tan (a + b) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a \cdot \tan b}}$ έχω: $\tan a + \tan b = 1 - \tan a \cdot \tan b$ . Δηλαδή

$\dfrac{x}{{3 - x}} + \dfrac{x}{{4 - x}} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = 1\,}$ . ( η x = 6

απορρίπτεται) .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 12:18 pm
Άντε να βρεις φάκελο γι' αυτήν την άσκηση Ορθογώνια βάσανα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε τα ίσα

τμήματα : .

Πόσο πρέπει να είναι το , ώστε : $\omega+\theta=180^{\circ}$ ;

Edit:Λόγω κενού στην απόδειξη την διέγραψα.

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 12:18 pm
Άντε να βρεις φάκελο γι' αυτήν την άσκηση Ορθογώνια βάσανα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με , θεωρούμε τα ίσα

τμήματα : .

Πόσο πρέπει να είναι το , ώστε : $\omega+\theta=180^{\circ}$ ;

Το τετράπλευρο

$K\Omega OE$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο,

γιατί $\hat{EK\Omega }=\omega ,\hat{QK\Omega }=\theta =\hat{\Omega OE}$

Στο τρίγωνο MCS

με τέμνουσα BOA

από Μενέλαο $\dfrac{MO}{OS}=\dfrac{5AM}{3x},(2),$

Ομοίως στο τρίγωνο ABC

με τέμνουσα $MOS,AM=\dfrac{3x^{2}}{20-9x},(1),$

Από νομο συνημιτόνου στο τρίγωνο $OSB,OS^{2}=\dfrac{18}{5}x^{2}-\dfrac{72}{5}x+16,(3) ,$

από Π.Θ στο τρίγωνο $AMO,x^{2}+AM^{2}=OM^{2},(4), (1),(2),(3),(4)\Rightarrow x=1$

Ορθογώνια βάσανα

Ορθογώνια βάσανα

Re: Ορθογώνια βάσανα

Re: Ορθογώνια βάσανα

Re: Ορθογώνια βάσανα

Re: Ορθογώνια βάσανα

Μέλη σε σύνδεση