Μετρική σε τρίγωνο

#1

: Μετρική.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ ισχύει η σχέση : $B{{C}^{2}}+A{{H}^{2}}=4M{{N}^{2}}$ , όπου είναι το ορθόκεντρό του και τα μέσα των αντίστοιχα.

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 08, 2021 4:34 pm
Μετρική.png
Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ ισχύει η σχέση : $B{{C}^{2}}+A{{H}^{2}}=4M{{N}^{2}}$ , όπου είναι το ορθόκεντρό του και τα μέσα των αντίστοιχα.

Στάθης

H

είναι η διάμετρος του κύκλου του Euler

και είναι ίση με την ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου.

$\displaystyle B{C^2} + A{H^2} = {a^2} + 4{R^2}{\cos ^2}A = {a^2} + 4{R^2} - 4{R^2}{\sin ^2}A = 4{R^2} = 4M{N^2}$

STOPJOHN · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 08, 2021 4:34 pm
Μετρική.png
Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ ισχύει η σχέση : $B{{C}^{2}}+A{{H}^{2}}=4M{{N}^{2}}$ , όπου είναι το ορθόκεντρό του και τα μέσα των αντίστοιχα.

Στάθης

Καλησπέρα ,δεν πρόλαβα να δω τη λυση του Γιώργου ...νομίζω οτι μοιάζουν οι λύσεις μας

Στο τρίγωνο $OMC,4R^{2}=4OM^{2}+a^{2}$
Ο κύκλος $(\Omega )$ είναι ο κύκλος του Euler

και

οπότε αρκεί να αποδειχθεί $4R^{2}=a^{2}+AH^{2},(2MN)^{2}=16R_{E}^{2}=4R^{2}$

#4

Άλλη μία.

: Μετρική σε τρίγωνο.ΣΚ.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

$\displaystyle P{M^2} + P{N^2} = M{N^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AH}}{2}} \right)^2} = M{N^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{BC^2+AH^2=4MN^2}$

Μετρική σε τρίγωνο

Μετρική σε τρίγωνο

Re: Μετρική σε τρίγωνο

Re: Μετρική σε τρίγωνο

Re: Μετρική σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση