ΘΑΛΗΣ 2021

Λευτέρης Παπανικολάου · #61

thepigod762 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 4:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 3:09 pm
Μιας και τα θέματα αναρτήθηκαν παντού στο διαδίκτυο τα αναρτώ εδώ για να συζητήσουμε τις λύσεις!!! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν!!!
Για την Γ' Γυμνασίου:

Πρόβλημα 2 (Να σημειωθεί πως όπου Δ, D)

(α) Από χαρακτηριστική ιδιότητα μεσοκαθέτου, , και τρίγωνο ισοσκελές, με $\angle KAZ=\angle ZBK (6)$
Άρα, εφόσον τα τρίγωνα είναι ορθογώνια με δύο αντίστοιχες ίσες γωνίες και η άλλη είναι ίση και έχουμε:
$\angle AKZ=\angle ZKB (1)$
$\angle AKE=\angle AKZ (2)$ , αφού είναι γωνίες σε ορθογώνια τρίγωνα με δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες.
$\angle BKZ+\angle ZKA+\angle AKE=180^{0} (3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow 3\cdot \angle ZKA=180^{0}\Leftrightarrow \angle ZKA=60^{0}$ , και από αθρ. γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε $\angle ZAK=30^{0}\Rightarrow \angle A=60^{0}$

(β) Λόγω παραλληλίας, $\angle DEK=\angle KBZ (4)$ και
$\angle KDE=\angle ZAK (5)$ , ως εντός εναλλάξ.
$(4),(5),(6)\Rightarrow \angle KED=\angle KDE$ και τρίγωνο ισοσκελές, με
Με άθροισμα γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε την $\angle AKE$ που είναι ίση ως κατακορυφήν με την $\angle BKD$ και από εκεί με άθροισμα γωνιών τριγώνου βρίσκουμε $\angle KBD=30^{0}$
$\angle ZAK=\angle ABK=30^{0}$ και, επομένως, $AB\Gamma$ ισόπλευρο.
Λόγω ισοπλεύρου, και γνωρίζουμε πως $\angle ZAK=\angle KAE, \angle KZA=\angle AKE$
Άρα, τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και
$(7),(8)\Rightarrow KZ=KE=KD$

Δεν θέλω να είμαι ''ενοχλητικός'' και ούτε έχω κάποια εμπάθεια απέναντί σου, ίσα ίσα θέλω να σου δώσω συγχαρητήρια για τη συμμετοχή σου (υποθέτω) στον διαγωνισμό και που σου αρέσουν τα Μαθηματικά. Είναι χαρά για εμάς τους Μαθηματικούς να βλέπουμε παιδιά να ασχολούνται τόσο ενεργά με τα Μαθηματικά. Απλά να σου επισημάνω ότι για να είναι η γωνία ΚΒΔ ίση με 30 μοίρες πρέπει (αφού η ΒΚΔ είναι 60 μοίρες) η γωνία ΚΔΒ να είναι ορθή. Aυτό είναι κάτι που ΕΣΥ έχεις πάρει ως δεδομένο, εκτός αν εμένα μου διαφεύγει κάτι. Μπορεί λοιπόν αυτό να αποδειχθεί; Έχεις κάποια εξήγηση; Να σου πω επίσης ένα μεγάλο μπράβο για τη λύση σου στο 1ο θέμα! Αν θες, συμπλήρωσε στη λύση σου ότι εξαιρείται και ο αριθμός 5 από διαιρέτης του ζητούμενου αριθμού ώστε να είναι τέλεια!

thepigod762 · #62

Λευτέρης Παπανικολάου έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 6:53 pm

thepigod762 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 4:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 3:09 pm
Μιας και τα θέματα αναρτήθηκαν παντού στο διαδίκτυο τα αναρτώ εδώ για να συζητήσουμε τις λύσεις!!! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν!!!
Για την Γ' Γυμνασίου:

Πρόβλημα 2 (Να σημειωθεί πως όπου Δ, D)

(α) Από χαρακτηριστική ιδιότητα μεσοκαθέτου, , και τρίγωνο ισοσκελές, με $\angle KAZ=\angle ZBK (6)$
Άρα, εφόσον τα τρίγωνα είναι ορθογώνια με δύο αντίστοιχες ίσες γωνίες και η άλλη είναι ίση και έχουμε:
$\angle AKZ=\angle ZKB (1)$
$\angle AKE=\angle AKZ (2)$ , αφού είναι γωνίες σε ορθογώνια τρίγωνα με δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες.
$\angle BKZ+\angle ZKA+\angle AKE=180^{0} (3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow 3\cdot \angle ZKA=180^{0}\Leftrightarrow \angle ZKA=60^{0}$ , και από αθρ. γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε $\angle ZAK=30^{0}\Rightarrow \angle A=60^{0}$

(β) Λόγω παραλληλίας, $\angle DEK=\angle KBZ (4)$ και
$\angle KDE=\angle ZAK (5)$ , ως εντός εναλλάξ.
$(4),(5),(6)\Rightarrow \angle KED=\angle KDE$ και τρίγωνο ισοσκελές, με
Με άθροισμα γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε την $\angle AKE$ που είναι ίση ως κατακορυφήν με την $\angle BKD$ και από εκεί με άθροισμα γωνιών τριγώνου βρίσκουμε $\angle KBD=30^{0}$
$\angle ZAK=\angle ABK=30^{0}$ και, επομένως, $AB\Gamma$ ισόπλευρο.
Λόγω ισοπλεύρου, και γνωρίζουμε πως $\angle ZAK=\angle KAE, \angle KZA=\angle AKE$
Άρα, τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και
$(7),(8)\Rightarrow KZ=KE=KD$
Δεν θέλω να είμαι ''ενοχλητικός'' και ούτε έχω κάποια εμπάθεια απέναντί σου, ίσα ίσα θέλω να σου δώσω συγχαρητήρια για τη συμμετοχή σου (υποθέτω) στον διαγωνισμό και που σου αρέσουν τα Μαθηματικά. Είναι χαρά για εμάς τους Μαθηματικούς να βλέπουμε παιδιά να ασχολούνται τόσο ενεργά με τα Μαθηματικά. Απλά να σου επισημάνω ότι για να είναι η γωνία ΚΒΔ ίση με 30 μοίρες πρέπει (αφού η ΒΚΔ είναι 60 μοίρες) η γωνία ΚΔΒ να είναι ορθή. Aυτό είναι κάτι που ΕΣΥ έχεις πάρει ως δεδομένο, εκτός αν εμένα μου διαφεύγει κάτι. Μπορεί λοιπόν αυτό να αποδειχθεί; Έχεις κάποια εξήγηση; Να σου πω επίσης ένα μεγάλο μπράβο για τη λύση σου στο 1ο θέμα! Αν θες, συμπλήρωσε στη λύση σου ότι εξαιρείται και ο αριθμός 5 από διαιρέτης του ζητούμενου αριθμού ώστε να είναι τέλεια!

Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό

. Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ

Λευτέρης Παπανικολάου · #63

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm

Λευτέρης Παπανικολάου έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 6:53 pm

thepigod762 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 4:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 05, 2021 3:09 pm
Μιας και τα θέματα αναρτήθηκαν παντού στο διαδίκτυο τα αναρτώ εδώ για να συζητήσουμε τις λύσεις!!! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν!!!
Για την Γ' Γυμνασίου:

Πρόβλημα 2 (Να σημειωθεί πως όπου Δ, D)

(α) Από χαρακτηριστική ιδιότητα μεσοκαθέτου, , και τρίγωνο ισοσκελές, με $\angle KAZ=\angle ZBK (6)$
Άρα, εφόσον τα τρίγωνα είναι ορθογώνια με δύο αντίστοιχες ίσες γωνίες και η άλλη είναι ίση και έχουμε:
$\angle AKZ=\angle ZKB (1)$
$\angle AKE=\angle AKZ (2)$ , αφού είναι γωνίες σε ορθογώνια τρίγωνα με δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες.
$\angle BKZ+\angle ZKA+\angle AKE=180^{0} (3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow 3\cdot \angle ZKA=180^{0}\Leftrightarrow \angle ZKA=60^{0}$ , και από αθρ. γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε $\angle ZAK=30^{0}\Rightarrow \angle A=60^{0}$

(β) Λόγω παραλληλίας, $\angle DEK=\angle KBZ (4)$ και
$\angle KDE=\angle ZAK (5)$ , ως εντός εναλλάξ.
$(4),(5),(6)\Rightarrow \angle KED=\angle KDE$ και τρίγωνο ισοσκελές, με
Με άθροισμα γωνιών τριγώνου στο βρίσκουμε την $\angle AKE$ που είναι ίση ως κατακορυφήν με την $\angle BKD$ και από εκεί με άθροισμα γωνιών τριγώνου βρίσκουμε $\angle KBD=30^{0}$
$\angle ZAK=\angle ABK=30^{0}$ και, επομένως, $AB\Gamma$ ισόπλευρο.
Λόγω ισοπλεύρου, και γνωρίζουμε πως $\angle ZAK=\angle KAE, \angle KZA=\angle AKE$
Άρα, τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και
$(7),(8)\Rightarrow KZ=KE=KD$
Δεν θέλω να είμαι ''ενοχλητικός'' και ούτε έχω κάποια εμπάθεια απέναντί σου, ίσα ίσα θέλω να σου δώσω συγχαρητήρια για τη συμμετοχή σου (υποθέτω) στον διαγωνισμό και που σου αρέσουν τα Μαθηματικά. Είναι χαρά για εμάς τους Μαθηματικούς να βλέπουμε παιδιά να ασχολούνται τόσο ενεργά με τα Μαθηματικά. Απλά να σου επισημάνω ότι για να είναι η γωνία ΚΒΔ ίση με 30 μοίρες πρέπει (αφού η ΒΚΔ είναι 60 μοίρες) η γωνία ΚΔΒ να είναι ορθή. Aυτό είναι κάτι που ΕΣΥ έχεις πάρει ως δεδομένο, εκτός αν εμένα μου διαφεύγει κάτι. Μπορεί λοιπόν αυτό να αποδειχθεί; Έχεις κάποια εξήγηση; Να σου πω επίσης ένα μεγάλο μπράβο για τη λύση σου στο 1ο θέμα! Αν θες, συμπλήρωσε στη λύση σου ότι εξαιρείται και ο αριθμός 5 από διαιρέτης του ζητούμενου αριθμού ώστε να είναι τέλεια!
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ

Αυτό δεν το έχω πρόχειρο να σου το απαντήσω, αν και πολύ ενδιαφέρον. Ίσως μπορεί να μας βοηθήσει κάποιο άλλο μέλος. Πάντως αν το έχεις δει κάπου, μπορείς να το παραθέσεις ώστε να το μάθουν κι άλλοι (κι εγώ). Να σου πω πάντως ότι το ζητούμενο αποδεικνύεται μέσω των ίσων ορθογωνίων τριγώνων ΑΖΚ και ΑΕΚ

#64

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ

Δεν έχω κοιτάξω την ανάρτηση για να δω αν διορθώνεται. Αν όμως είναι λάθος μην το σβήσεις. Χάνεται η όλη ροή της συζήτησης. Απλά γράψε στο τέλος της ανάρτησης ότι η λύση είναι λανθασμένη.

#65

Μόλις ανέβηκαν οι επίσημες λύσεις εδώ.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λευτέρης Παπανικολάου · #66

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 9:07 pm
Μόλις ανέβηκαν οι επίσημες λύσεις εδώ.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Στο 2ο πρόβλημα της Γ Γυμνασίου, έχουν ξεχάσει να σημειώσουν/αποδείξουν και τη ζητούμενη ισότητα του ΚΖ με τα άλλα δύο τμήματα

#67

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm
....
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ

Με μόνη προϋπόθεση ότι "η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο", δεν προκύπτει απαταίτητα ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Δείτε, π.χ. το θέμα εδώ ή τη συζήτηση εδώ.

Εάν έχουμε επιπλέον υποθέσεις, τότε μπορεί να αληθεύει. Δείτε, π.χ. το θέμα εδώ.

Κάποια άλλα σχετικά θέματα έχουν συζητηθεί εδώ, εδώ,
εδώ, εδώ, και εδώ.

Το θέμα εδώ έχει τεθεί στην Πανενωσιακή το 1970.

Περισσότερα αποτελέσματα θα δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λευτέρης Παπανικολάου · #68

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 9:54 pm

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm
....
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ
Με μόνη προϋπόθεση ότι "η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο", δεν προκύπτει απαταίτητα ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Δείτε, π.χ. το θέμα εδώ ή τη συζήτηση εδώ.

Εάν έχουμε επιπλέον υποθέσεις, τότε μπορεί να αληθεύει. Δείτε, π.χ. το θέμα εδώ.

Κάποια άλλα σχετικά θέματα έχουν συζητηθεί εδώ, εδώ,
εδώ, εδώ, και εδώ.

Το θέμα εδώ έχει τεθεί στην Πανενωσιακή το 1970.

Περισσότερα αποτελέσματα θα δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστούμε πολύ συνάδελφε! Στις παραπομπές, αν δεν μου διαφεύγει κάτι, γίνεται λόγος για ύψος, διχοτόμο και ΔΙΑΜΕΣΟ αλλά όχι ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟ. Υπάρχει κάποιο υλικό που να περιλαμβάνει τη μεσοκάθετο;

#69

Πράγματι, αλλά για την μεσοκάθετο είναι εύκολα αντιπαραδείγματα. To

μπορεί να είναι οπουδήποτε.

Δείτε το σχήμα.

Λευτέρης Παπανικολάου · #70

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 2:29 am
Πράγματι, αλλά για την μεσοκάθετο είναι εύκολα αντιπαραδείγματα. To μπορεί να είναι οπουδήποτε.

Δείτε το σχήμα.

Ωραία, ευχαριστώ για την άμεση απάντηση!

#71

υπαρχει η λυση σε επόμενο ποστ

#72

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 9:54 pm

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm
....
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ
Με μόνη προϋπόθεση ότι "η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο", δεν προκύπτει απαταίτητα ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Μιας και έχει διαλευκανθεί αυτό, να ρωτήσω το παρακάτω: Στο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου με δεδομένη την παραλληλία που δίνεται στο β) ερώτημα, είναι σωστό ότι το αρχικό τρίγωνο είναι ισόπλευρο;

thepigod762 · #73

silouan έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 15, 2021 1:08 am

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 9:54 pm

thepigod762 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 07, 2021 8:10 pm
....
Σωστά! Το παρέλειψα και αυτό . Ίσως με έσωζε το αν δεχόμασταν ως "λήμμα" την εξης πρόταση:
Η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο ανν αυτό είναι ισόπλευρο.
Πείτε μου αν είναι σωστό για να κάνω τις κατάλληλες τροποποιήσεις. Αν όχι, θα σβηστεί η δημοσίευση. Ευχαριστώ
Με μόνη προϋπόθεση ότι "η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετη μιας πλευράς ενός τριγώνου που δεν συμπίπτουν διέρχονται από κοινό σημείο", δεν προκύπτει απαταίτητα ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Μιας και έχει διαλευκανθεί αυτό, να ρωτήσω το παρακάτω: Στο πρόβλημα της Γ' Γυμνασίου με δεδομένη την παραλληλία που δίνεται στο β) ερώτημα, είναι σωστό ότι το αρχικό τρίγωνο είναι ισόπλευρο;

Ναι είναι. Και αυτό γιατί τα τρίγωνα BKD, AKE

είναι ίσα από ΠΓΠ και $\angle A=30^{0}+30^{0}=60^{0}$

#74

θαλης 2021. Γ λυκειου.2ο Θεμα
$\displaystyle{f(2f(x)+y)=f(f(y)+x)+x}$

Για $\displaystyle{y=-2f(x)}$ εχουμε $\displaystyle{f(f(-2f(x))+x)=-x+f(0)=epi }$ αρα η $\displaystyle{f=epi}$ του $\displaystyle{R}$

αρα η $\displaystyle{f}$ έχει ρίζα εστω $\displaystyle{r}$

Για $\displaystyle{x=r}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(f(y)+r)+r=f(y)}$ οπότε για $\displaystyle{y=r,f(r)+r=0}$ λογω της προηγούμενης αρα $\displaystyle{r=0}$

δηλαδη $\displaystyle{f(0)=0}$ συνεπως για $\displaystyle{x=0}$ είναι $\displaystyle{f(f(y))=f(y)}$ kai αφού $\displaystyle{f=epi}$
$\displaystyle{f(x)=x, \forall x\in R}$ που είναι 1-1

ΤΟ ΠΕΡΙΕΡΓΟ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΑΝΑΠΟΔΟΓΥΡΙΣΑ ΤΗ ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ

Τσιαλας Νικολαος · #75

Καθώς περιμένουμε τα αποτελέσματα...

http://www.hms.gr/?q=node/1822

#76

Αναρτήθηκαν στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε. τα αποτελέσματα του Θαλή.

Συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες και καλή συνέχεια!

Τσιαλας Νικολαος · #77

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Αν υπάρχει κάποιος που θα βρίσκεται την ημέρα του Αρχιμήδη στην Τρίπολη ας στείλει μήνυμα να γνωριστούμε και να τα πούμε!

spatharas · #78

82ος Διαγωνισμός της ΕΜΕ "Ο ΘΑΛΗΣ" - Τάξη Α' Λυκείου.
Εκφωνήσεις Θεμάτων: https://bit.ly/3wG1JkS
Αναλυτικές Απαντήσεις: https://bit.ly/3uhCYZu

ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Re: ΘΑΛΗΣ 2021

Μέλη σε σύνδεση