Κατασκευή ίσων τμημάτων

KARKAR · #1

: Κατασκευή ίσων τμημάτων.png (18.76 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Το

είναι ένα από τα δύο σημεία τομής , των δύο άνισων κύκλων

και

. Χορδή

του

,

τέμνει τον

, στο

. Κατασκευάστε χορδή

του

, η οποία να τέμνει τον

σε σημείο

,

έτσι ώστε να προκύψει : ST=PQ

.

#2

Ας δούμε τα σταθερά .

Οι δεδομένοι κύκλοι με κέντρα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ , η διάκεντρος

, οι ακτίνες των κύκλων , τα σημεία $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ και όποια άλλα προκύπτουν απ αυτά .

Αν γράψω τους κύκλους $\left( {A,S,P} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A,T,Q} \right)$ αυτοί τέμνονται ακόμα στο

.

Μπορούμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο DSP

είναι ισοσκελές και το τετράπλευρο

ADKO

είναι ισοσκελές τραπέζιο ( λήμμα προς απόδειξη)

: κατασκευή ίσων τμημάτων_ok.jpg (30.21 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Κατασκευή

Σχηματίζω το σταθερό ισοσκελές τραπέζιο ADKO

. Ο σταθερός κύκλος $\left( {A,S,D} \right)$

Τέμνει τον κύκλο

ακόμα στο

και η χορδή του

τον κύκλο

στο

.

nickchalkida · #3

Με χαρά διαπίστωσα ότι η ακόλουθη απλή κατασκευή πληρεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος.
Αν

είναι το έτερο σημείο τομής των κύκλων, κατασκευάζω γωνία $F\widehat{A}P = S\widehat{A}F$ , γίνεται τότε TS=QP

.
Η αιτιολόγηση έχει ώς εξής. Επειδή

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & TM \cdot TQ = AT \cdot TS \cr & TQ \cdot QN = AQ \cdot QP \cr \end{aligned} \right \} \rightarrow {TS \over QP} = {TM \over QN}{AQ \over AT} = {TM \over QN}{QR \over TR} }$

Άρα για να αποδείξω ότι TS=QP

αρκεί να αποδείξω ότι $TM \cdot QR = QN \cdot TR$ . Άλλά

$\displaystyle{ \begin{aligned} & TM \cdot QR = QN \cdot TR \rightarrow \cr & TM \cdot QR + TR \cdot QR = QN \cdot TR + TR \cdot QR \rightarrow \cr & QR(TM +TR) = TR (QN+QR) \rightarrow \cr & QR \cdot MR = TR \cdot RN \rightarrow \cr & AR \cdot RF = AR \cdot RF \cr \end{aligned} }$

και αφού η τελευταία ισχύει, θα είναι λοιπόν TS=QP

.

#4

Μία άλλη απόδειξη στην πολύ ωραία κατασκευή του Νίκου (nickchalkida)

: Κατασκευή ίσων τμημάτων.Κ.png (20.34 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Από τις ίσες κόκκινες εγγεγραμμένες γωνίες είναι BS=BQ, BT=BP

και από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα ATBP,

έχω $A\widehat PB=S\widehat TB, B\widehat ST=B\widehat QP.$ Άρα τα τρίγωνα TSB, PQB

είναι ίσα και το ζητούμενο έπεται.

nickchalkida · #5

... λιτή και απέριττη η απόδειξη του Γιώργου

Κατασκευή ίσων τμημάτων

Κατασκευή ίσων τμημάτων

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση