Διχοτόμος ορθής

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

: 17-4 Διχοτόμος ορθής.png (95.51 KiB) Προβλήθηκε 1281 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$ . Το $E \in BC$ ώστε AC+CE=AB

.

Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου.

ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:55 am
Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$ . Το $E \in BC$ ώστε .

Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου.

ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα και καλή εβδομάδα!

Λόγω του ειδικού ορθογωνίου τριγώνου, αν AC=b

θα είναι

και $AB=b\sqrt 3.$ Επειδή

όμως AC+CE=AB,

προκύπτουν τα μήκη των CE,EB

που φαίνονται στο σχήμα.

: Διχοτόμος ορθής.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

$\displaystyle \frac{{CE}}{{EB}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - \sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{AC}}{{AB}},$ και το ζητούμενο έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:55 am
Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$ . Το $E \in BC$ ώστε .

Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου.

ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Με $CZ=CE\Rightarrow AZ=AB$ και $\angle CZE=30^0$ οπότε $\angle EZB= \angle ZBE=15^0 \Rightarrow ZE=EB$

Έτσι,

μεσοκάθετη της

επομένως διχοτόμος της ορθής

: διχοτόμος ορθής.png (12.09 KiB) Προβλήθηκε 1207 φορές

#4

Έστω

το ύψος του τριγώνου. Είναι AC=2CD, AB=2AD.

: Διχοτόμος ορθής.β.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές

$\displaystyle \tan \varphi = \frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CE - CD}}{{AD}} = \frac{{AB - AC - CD}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AD}} - \frac{{3CD}}{{AD}} = 2 - 3\tan 30^\circ = 2 - \sqrt 3$

Άρα $\varphi=15^\circ,$ οπότε $\boxed{E\widehat AC=45^\circ}$ και το ζητούμενο έπεται.

STOPJOHN · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:55 am
Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$ . Το $E \in BC$ ώστε .

Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου.

ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

$CE=c-b,a=2b,c=b\sqrt{3},(*),EB=a+b-c=3b-c, NE=\fdrac{(3b-c)}/{2},(**) , \dfrac{SE}{c}=\dfrac{CE}{a}\Leftrightarrow SE=\dfrac{c(c-b)}{2b}, (***), (*),(***)\Rightarrow NE=SE$

Αρα η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:55 am
Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$ . Το $E \in BC$ ώστε .

Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου.

ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Άλλη μια ..

Με

διχοτόμο της

και

,θα είναι

και $\dfrac{AH}{HC}= \dfrac{AB}{BE}= \dfrac{AZ}{ZE} \Rightarrow ZH//BC$

άρα, BZHC

ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε $BZ=HC=BE \Rightarrow \angle EZB=75^0 \Rightarrow \angle EAB=45^0$

: Διχοτόμος ορθής (2).png (9.51 KiB) Προβλήθηκε 1159 φορές

#7

Στην προς το

προέκταση της πλευράς

του $\vartriangle ABC$ έστω το σημείο

, έτσι ώστε: CE = CD

.

Θα είναι AB = AD

. Έστω ότι η

τέμνει την

στο

. Αβίαστα προκύπτει:

: Διχοτόμος ορθής.png (31.49 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές

$\vartriangle CED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle FBE$ ισογώνια της μορφής , $\left( {120^\circ ,30^\circ ,30^\circ } \right)$ άρα τα $\vartriangle ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EBD$ είναι ισοσκελή με κοινή κορυφή το

.

Η ευθεία

θα είναι έτσι μεσοκάθετος στο

άρα διχοτόμος ορθής γωνίας $\widehat {BAC}$ .

Τώρα βλέπω ότι δεν έχει και μεγάλες διαφορές με τη λύση του Μιχάλη, αλλά την αφήνω για τον κόπο.

nickchalkida · #8

Έστω η έλλειψη

, με εστίες τα

,

που διέρχεται από το σημείο

,
και

, το σημείο τομής αυτής με την

. Τότε είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & AD + DE = AB \cr & AD + DB = AB \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow DE = DB }$

δηλαδή το τρίγωνο DEB

είναι ισοσκελές και $\widehat{ADE}=\widehat{ACE}=60^o$ .
Τότε τα σημεία

,

είναι συμμετρικά ως προς τον κύριο άξονα της έλλειψης

.
[βλέπουν τις εστίες υπό ίσες γωνίες και

δεν διέρχεται εκ του κέντρου (μη πλήρης αιτιολόγηση)]
Άρα ο κύριος άξονας διχοτομεί την $\widehat{DAC}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλό βράδυ. Γιώργο,Μιχάλη, Γιάννη, Νίκο Φ. και Νίκο Κ. σας ευχαριστώ θερμά για τις επεμβάσεις-λύσεις σας!

Μια ακόμη παραλλαγή, με ύλη Γυμνασίου. Φέρω $EP \perp AC$ . Αρκεί το ορθογώνιο EAP

να είναι και ισοσκελές

: 27-4 Διχοτόμος ορθής.png (70.79 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Αν

τότε $AB=\sqrt{3}$ και $CE=AB-AC=\sqrt{3}-1$ . Ακόμη $EP=CE\sigma \upsilon \nu 30^o=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$ ενώ

$CP=CE/2=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ άρα $AP=1-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}=EP$ . Συνεπώς η

είναι διχοτόμος ορθής.

Φιλικά, Γιώργος,

Διχοτόμος ορθής

Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Re: Διχοτόμος ορθής

Μέλη σε σύνδεση