Παραμετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7x^2+14ax-6=0

έχει ακριβώς δυο ρίζες.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$x^{3}\left ( x^{3}-6ax^{2}+12a^{2}x-8a^{3} \right )-7x\left ( x-2a \right )-6=0\Leftrightarrow$

$x^{3}\left ( x-2a \right )^{3}-7x\left ( x-2a \right )-6=0\Leftrightarrow$

$\left [ x\left ( x-2a \right ) \right ]^{3}-7x\left ( x-2a \right )-6=0$

Θέτω $y=x\left ( x-2a \right )$ για διευκόλυνση και η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$y^{3}-7y-6=0\Leftrightarrow$

$y^{3}-y-6y-6=0\Leftrightarrow$

$y\left ( y^{2} -1\right )-6\left ( y+1 \right )=0\Leftrightarrow$

$y\left ( y +1\right )\left ( y-1 \right )-6\left ( y+1 \right )=0\Leftrightarrow$

$\left ( y +1\right )\left [ y\left ( y-1 \right )-6 \right ]=0\Leftrightarrow$

$\left ( y +1\right )\left ( y^{2}-y-6 \right )=0\Leftrightarrow$

$\left ( y +1\right )\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right )=0$

Έτσι λοιπόν η αρχική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\left [ x(x-2a)+1 \right ]\left [ x\left ( x-2a \right )+2 \right ]\left [ x\left ( x-2a \right )-3 \right ]=0\Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-2ax+1 \right )\left ( x^{2}-2ax+2 \right )\left ( x^{2}-2ax-3 \right )=0$

Θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου

έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες.

Η εξίσωση $x^{2}-2ax-3=0$ έχει σίγουρα δύο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες

αφού $\Delta =4a^{2}+12> 0$ για κάθε $a\epsilon \mathbb{R}.$

Αυτό που απομένει είναι να εξασφαλίσουμε ότι οι εξισώσεις

$x^{2}-2ax+1 =0,x^{2}-2ax+2 =0$

στερούνται πραγματικών ριζών.

Δηλαδή θέλουμε να βρούμε τις τιμές του

για τις οποίες ισχύουν

$4a^{2}-4< 0$ και $4a^{2}-8< 0.$

Εύκολα διαπιστώνει κάποιος ότι

$4a^{2}-4< 0\Leftrightarrow -1< a< 1$ και $4a^{2}-8< 0\Leftrightarrow -\sqrt{2}< a< \sqrt{2}$

Συνεπώς οι ζητούμενες τιμές είναι αυτές για τις οποίες -1< a< 1.

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση