Ψηφιακή ρίζα

User#0000 · #1

Να αποδείξετε ότι η ψηφιακή ρίζα του αριθμού $9k+1 \wedge k\in \mathbb{Z^{*}}$ είναι το

.

Τροποποίησα την εκφώνηση.

#2

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:14 pm
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού ισούται με:
, όταν $k \in \left \{ 1, 11, 111,1111,... \right \}$
και
, όταν $k \in \mathbb{Z^{+}}-\left \{1, 11, 111, 1111,...\right \}$
π.χ.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$9+1=10\rightarrow 1+0=1$
$18+1=19\rightarrow 1+9=10$ ...

Μάλλον χάνω κάτι. Δοκίμασες για k=22

να δεις αν αληθεύει; Για να μην πω αν δοκίμασες τον k=222

. Μάλλον κάτι άλλο θα θέλεις να ρωτήσεις.

User#0000 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:31 pm
Μάλλον χάνω κάτι. Δοκίμασες για να δεις αν αληθεύει; Για να μην πω αν δοκίμασες τον . Μάλλον κάτι άλλο θα θέλεις να ρωτήσεις.

Ναι, έχετε δίκιο σας ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία, εκεί που «πραγματικά» έχω απορία είναι το εξής:

Να δείξετε ότι το επαναλαμβανόμενο/διαδοχικό; άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $9k+1 \wedge k\in \mathbb{Z^{*}}$
καταλήγει στο

.

$9\cdot 222+1=1999 \rightarrow 1+9+9+9=28\rightarrow 2+8=10\rightarrow 1$

2nisic · #4

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:14 pm
Να δείξετε ότι το επαναλαμβανόμενο/διαδοχικό; άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $9k+1 \wedge k\in \mathbb{Z^{*}}$
καταλήγει στο .
π.χ.
$9\cdot 222+1=1999 \rightarrow 1+9+9+9=28\rightarrow 2+8=10\rightarrow 1$

Αυτό είναι προφανές αφού:

n=S(n)(mod9)

Όπου

το άθροισμα το ψηφίων του

#5

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:53 pm
Ναι, έχετε δίκιο σας ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία, εκεί που «πραγματικά» έχω απορία είναι το εξής:

Να δείξετε ότι το επαναλαμβανόμενο/διαδοχικό; άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $9k+1 \wedge k\in \mathbb{Z^{*}}$
καταλήγει στο .

$9\cdot 222+1=1999 \rightarrow 1+9+9+9=28\rightarrow 2+8=10\rightarrow 1$

Δεν αμφέβαλλα καθόλου τι εννούσες γιατί έκανες ακριβώς το ίδιο λάθος πριν από λίγους μήνες εδώ. Δεν πειράζει να κάνουμε λάθη αλλά, αφού φαινόνταν ότι δεν είχες ξεκαθαρίσει στο μυαλό σου την έννοια, ήταν μία ευκαιρία να την ξεκαθαρίσεις τώρα. Ελπίζω τώρα η εικόνα να είναι σαφής.

Επί της ουσίας.

Έχεις βάλει την ερώτηση στον φάκελο των Α.Ε.Ι. Χμμμμμ.

Να σου θυμίσω ότι στο Δημοτικό έμαθες το κριτήριο διαιρετότητας του

. Εκεί λοιπόν έμαθες ότι το άθροισμα των ψηφίων του

είναι .... (συμπλήρωσέ το). Με βάση αυτό, τι έχεις να πεις για το άθροισμα των ψηφίων του 9k+1

, ο οποίος είναι ο αριθμός που αφορά την ερώτησή σου;

Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς τελικά θα λύσεις την άσκηση. Περιμένουμε.

Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο 2nisic αλλά και πάλι θα περιμένω να τα κάνεις λιανά. Χωρίς modulo.

User#0000 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 7:12 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:53 pm
Ναι, έχετε δίκιο σας ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία, εκεί που «πραγματικά» έχω απορία είναι το εξής:

Να δείξετε ότι το επαναλαμβανόμενο/διαδοχικό; άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $9k+1 \wedge k\in \mathbb{Z^{*}}$
καταλήγει στο .

$9\cdot 222+1=1999 \rightarrow 1+9+9+9=28\rightarrow 2+8=10\rightarrow 1$
Δεν αμφέβαλλα καθόλου τι εννούσες γιατί έκανες ακριβώς το ίδιο λάθος πριν από λίγους μήνες εδώ. Δεν πειράζει να κάνουμε λάθη αλλά, αφού φαινόνταν ότι δεν είχες ξεκαθαρίσει στο μυαλό σου την έννοια, ήταν μία ευκαιρία να την ξεκαθαρίσεις τώρα. Ελπίζω τώρα η εικόνα να είναι σαφής.

Επί της ουσίας.

Έχεις βάλει την ερώτηση στον φάκελο των Α.Ε.Ι. Χμμμμμ.

Να σου θυμίσω ότι στο Δημοτικό έμαθες το κριτήριο διαιρετότητας του . Εκεί λοιπόν έμαθες ότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι .... (συμπλήρωσέ το). Με βάση αυτό, τι έχεις να πεις για το άθροισμα των ψηφίων του , ο οποίος είναι ο αριθμός που αφορά την ερώτησή σου;

Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς τελικά θα λύσεις την άσκηση. Περιμένουμε.

Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο 2nisic αλλά και πάλι θα περιμένω να τα κάνεις λιανά. Χωρίς modulo.

Η απάντηση είναι πολλαπλάσιο του εννιά. Επιπλέον, όσον αφορά την λύση με modulo δεν γνωρίζω την έννοια του modulo σχεδόν καθόλου, οπότε δεν υπάρχει λόγος ανησυχίας του τύπου, ότι μου (μου προσφέρθηκε η λύση στο πιάτο). Ξέχασα να αναφέρω κατά λάθος μπήκε η ερώτηση Α.Ε.Ι. έχω καιρό να χρησιμοποιήσω το mathmatica.
Λύση
Sumdigitsof(9k)=

πολλαπλάσιο του

πολλαπλάσιο του 9)=

πάλι πολλαπλάσιο του

και ταυτόχρονα φθίνει η τιμή..., ως που να γίνει

Οπότε έχω το δικαίωμα;;;; στο τέλος να προσθέσω το

και στο τέλος να γίνει

και μετά να το αντιστοιχίσω με το

.

και να πω ότι το επαναλαμβανόμενο άθροισμα των ψηφίων του 9k+1

στο τέλος καταλήγει στον αριθμό

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#7

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 7:46 pm
Οπότε έχω το δικαίωμα;;;; στο τέλος να προσθέσω το και στο τέλος να γίνει και μετά να το αντιστοιχίσω με το .

Η λύση σου έχει κενό. Για παράδειγμα στο παραπάνω βήμα είναι σαν να νομίζεις ότι

(το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού

) +1

είναι ίσο με

(το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού (N+1)

)

Ομως αυτό δεν αληθεύει. Π.χ για N=19

το πρώτο κάνει 10+1=11

ενώ το δεύτερο κάνει

αφού

.

Κάτι λοιπόν λείπει από την απόδειξή σου.

User#0000 · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 8:00 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 7:46 pm
Οπότε έχω το δικαίωμα;;;; στο τέλος να προσθέσω το και στο τέλος να γίνει και μετά να το αντιστοιχίσω με το .
Η λύση σου έχει κενό. Για παράδειγμα στο παραπάνω βήμα είναι σαν να νομίζεις ότι

(το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού ) +1

είναι ίσο με

(το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού )

Ομως αυτό δεν αληθεύει. Π.χ για το πρώτο κάνει ενώ το δεύτερο κάνει αφού .

Κάτι λοιπόν λείπει από την απόδειξή σου.

Όλα αυτά τα ξέρω γιατί είμαι τουλάχιστον 18 ώρες και προσπαθώ να το αποδείξω και σκέφτηκα ίσως με λυτρώσει το forum αυτό.

#9

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 8:08 pm
Όλα αυτά τα ξέρω γιατί είμαι τουλάχιστον 18 ώρες και προσπαθώ να το αποδείξω και σκέφτηκα ίσως με λυτρώσει το forum αυτό.

Υπόδειξη:

α) Γράφοντας τον αριθμό $10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+... + 10a_1+a_0$ ως

$\displaystyle{(99...9a_n+99...9a_{n-1}+... + 9a_1) +(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)=9N+(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)}$

δείξε ότι μόντουλο

ο αρχικός αριθμός και ο $a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0$ είναι ίσοι.

β) Πόσο είναι μόντουλο

ένας αριθμός της μορφής 9k+1

;

User#0000 · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 8:50 pm
α) Γράφοντας τον αριθμό $10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+... + 10a_1+a_0$ ως

$\displaystyle{(99...9a_n+99...9a_{n-1}+... + 9a_1) +(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)=9N+(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)}$

δείξε ότι μόντουλο ο αρχικός αριθμός και ο $a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0$ είναι ίσοι.

α)
$9k=a_{0}+10a_{1}+100a_{2}+...$
$9k=\sum digits(9k)+9a_{1}+99a_{2}+...$
$9k=\sum digits(9k)+9(a_{1}+11a_{2}+...$
$9k=9x+\sum digits(9k)$ , όπου $x \in \mathbb{N}$
Άρα:
$(9k)\equiv \sum digits(9k) (mod9)$

β) Πόσο είναι μόντουλο ένας αριθμός της μορφής ;

β)

#11

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 06, 2021 3:29 pm

$9k=a_{0}+10a_{1}+100a_{2}+...$

Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το παραπάνω. Είναι σαν να δουλεύεις μόνο με πολλαπλάσια του

, αλλά το ζητούμενο είναι για όλους τους αριθμούς. Αν δουλεύουμε μόνο με πολλαπλάσια του 9, τότε η απάντηση modulo

είναι

, όπως άλλωστε μάθαμε στις μικρές τάξεις (κριτήριο διαιρετότητας του

).

User#0000 · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 7:12 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 6:53 pm
Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς τελικά θα λύσεις την άσκηση. Περιμένουμε.
Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο 2nisic αλλά και πάλι θα περιμένω να τα κάνεις λιανά. Χωρίς modulo.
Έκανα επεξεργασία το σχόλιο, διότι ήταν δυσανάγνωστο.

$\sum Dx=$ To άθροισμα των ψηφίων του αριθμού
$\sum D\sum D...\sum D}x=Digit=$ Η ψηφιακή ρίζα του αριθμού

$\forall k \in \mathbb {Z^{+}}$ , ισχύει ότι:

$9k+1=a_{1}+10a_{2}+100a_{3}+...$
$9k+1=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+9a_{2}+99a_{3}+...$
$9k+1=\sum D(9k+1)+9(a_{2}+11a_{3}+...$
$9k+1=\sum D(9k+1)+9l_{1}$ , όπου $l_{1}=a_{2}+11a_{3}+...$
$\sum D(9k+1)=9k+1+9l_{1}$ .
$\sum D(9k+1)=9(k-l_{1})+1$

Θέτω $m_{1}=k-l_{1}$
$\sum D(9k+1)=9m_{1}+1$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι:
$\sum D(9m_{1}+1)=9(m_{1}-l_{2})+1$ ,όπου $l_{2}=b_{2}+11b_{3}+...$

Θέτω $m_{2}=m_{1}-l_{2}$
$\sum D(9m_{1}+1)=9m_{2}+1$

$\sum D(9m_{2}+1)=9m_{3}+1$

Προφανώς ισχύει ότι:
$\sum D(9m_{i}+1)=9m_{i+1}+1$ , όπου $m_{i+1}=m_{i}-l_{i+1}$ με $l_{i},m_{i} \in \mathbb {N}$ και $i \in \mathbb {Z^{+}}$ και $m_{i}\geq m_{i+1}, \forall i\in \mathbb{Z^{+}}$

Έστω $m_{u}=0$ , όπου $u \in \mathbb {Z^{+}}$ με $i \geq u$
Άρα $m_{i}\geq m_{u}=0, \forall i \in \mathbb {Z^{+}}$

Επομένως:
$\sum D(9k+1)=9m_{1}+1$

$\sum D\sum D(9k+1)=\sum D(9m_{1}+1)=9m_{2}+1$

$\sum D \sum D \sum D(9k+1)=\sum D(9m_{2}+1)=9m_{3}+1$

$\underbrace{\sum D\sum D...\sum D}_{u}(9k+1)=\sum (9m_{u-1}+1)=9m_{u}+1=1$

#13

nikhtas30 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 08, 2021 6:35 am
*Eννοείται ότι $a_{1}+10a_{2}+100a_{3}+...=a_{1}+10a_{2}+100a_{3}+...+a_{n}$

Έστω $l_{i},m_{i} \in \mathbb {N}$ και $i,u \in \mathbb {Z^{+}}$ τέτοιοι ώστε $m_{i+1}=m_{i}-l_{i+1}$
και $m_{i}\geq m_{u}=0$ , $\forall m_{i} \in \mathbb{N}$

$\forall k \in \mathbb {Z^{+}}$ ισχύει ότι:
$9k+1=a_{1}+10a_{2}+100a_{3}+...$
$9k+1=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+9a_{2}+99a_{3}+...$
$9k+1=\sum D(9k+1)+9(a_{2}+11a_{3}+...$
$9k+1=\sum D(9k+1)+9l_{1}$ , όπου $l_{1}=a_{2}+11a_{3}+...$
$\sum D(9k+1)=9k+1+9l_{1}$ .

*Δηλαδή μέχρι εδώ έχω αποδείξει ότι: $9k+1=\sum D(9k+1) (mod9)$ .
Επιπρόσθετα

$\sum D(9k+1)=9(k-l_{1})+1$
Θέτω $m_{1}=k-l_{1}$

$\sum D(9k+1)=9m_{1}+1$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι:
$\sum D(9m_{1}+1)=9(m_{1}-l_{2})+1$
$\sum D(9m_{1}+1)=9m_{2}+1$

Ομοίως...
$\sum D(9m_{2}+1)=9m_{3}+1$

Προφανώς ισχύει ότι:
$\sum D(9m_{i}+1)=9m_{i+1}+1$

Επειδή $l_{i} \in \mathbb {N}$ , τότε ισχύει ότι:
$l_{i+2} \geqslant 0$
$0 \geqslant -l_{i+2}$
$m_{i+1} \geqslant m_{i+1}-l_{i+2}$

$m_{i+1} \geqslant m_{i+2}$

$9m_{i+1} \geqslant 9m_{i+2}$
$9m_{i+1}+1 \geqslant 9m_{i+2}+1$

$\sum D(9m_{i}+1) \geqslant \sum D(9m_{i+1})$

Άρα
$\underbrace{\sum D(9k+1) \geqslant \sum D(9m_{1}+1)\geqslant\sum D(9m_{2}+1)\geqslant ...\geqslant \sum D(9m_{u}+1)}=1_{u}$

Επομένως:
$\sum (9k+1)=9m_{1}+1\Rightarrow \sum D\sum D(9k+1)=\sum D(9m_{1}+1)=9m_{2}+1\Rightarrow$
$\sum D \sum D \sum D(9k+1)=\sum D(9m_{2}+1)=9m_{3}+1\Rightarrow ... \Rightarrow$
$\underbrace{\sum D\sum D...\sum D}_{u}(9k+1)=\sum (9m_{u-1}+1)=9m_{u}+1=1$

Δεν μπορώ να το παρακολουθήσω. Είναι χαοτική η κατάσταση και κάνει τα εύκολα, δύσκολα.

Την απόδειξη ουσιαστικά την έχω γράψει στο ποστ νούμερο

και δεν ξέρω γιατί επανερχόμαστε.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια με βάση αυτά που έγραψα, δηλαδή

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 8:50 pm

α) Γράφοντας τον αριθμό $10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+... + 10a_1+a_0$ ως

$\displaystyle{(99...9a_n+99...9a_{n-1}+... + 9a_1) +(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)=9N+(a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0)}$

δείξε ότι μόντουλο ο αρχικός αριθμός και ο $a_n+a_{n-1}+... + a_1+a_0$ είναι ίσοι.

β) Πόσο είναι μόντουλο ένας αριθμός της μορφής ;

Ξέρουμε λοιπόν ότι ένας αριθμός έχει το ίδιο μόντουλο 9 με τον αριθμό που προκύπτει από το άθροισμα των ψηφίων του. ΑΣ ΤΟ ΟΝΟΜΑΣΟΥΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι σαφές ότι είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό, στην περίπτωση που ο αριθμός ειναι διψήφιος και πάνω (γιατί τις δυνάμεις του

τις αντικαταστήσαμε με

). Αλλιώς είναι μονοψήφιος και δεν έχουμε τίποτα άλλο να κάνουμε. Αν όχι, επαναλαμβάνουμε την διαδικασία, δηλαδή εφαρμόζουμε ξανά την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α. Αφού το αποτέλεσμά μας μικραίνει, αργά ή γρήγορα θα φτάσουμε σε μονοψήφιο. Τελειώσαμε.

Αυτό κάνουμε από το Δημοτικό, όταν βρίσκουμε μόντουλο

το αριθμό.

Για παράδειγμα (και ζητώ συγγνώμη που επαναλαμβάνω κοινοτυπίες) έχουμε

$\displaystyle{559 \rightarrow 5+5+9=19}$ . Μίκρυνε αλλά δεν είναι μονοψήφιος. Ξανακάνω την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α.

$\displaystyle{19\rightarrow 1+9=10}$ . Άλλη μία φορά $\displaystyle{10 \rightarrow 1+0=1}$ . Τελειώσαμε.

Τι παραπάνω έκανα με το παράδειγμα που δεν το είπα ήδη; Τίποτα.

Ας πλατειάσω σε βαθμό υπερβολής και ας εξετάσουμε ειδικά τους αριθμούς της μορφής 9k+1

. Γι΄αυτούς ξέρω από πριν ότι μόντουλο

είναι ίσοι με

. Αυτό που δεν ξέρω από πριν είναι αν ο αριθμός που ξεκινάω είναι της μορφής 9k+1

. Τέτοιος είναι ο $559= 9\times 62 +1$ που χρησιμοποίησα παραπάνω. Αν λοιπόν εργαστώ σύμφωνα με την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α (όπως έκανα στο παράδειγμα) που θα καταλήξω; Μα στο

, αφού αυτό (όπως ξέρω) είναι το μόντουλο

του αριθμού. Τίποτα άλλο! Τα αυτονόητα.

Ψηφιακή ρίζα

Ψηφιακή ρίζα

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Μέλη σε σύνδεση