Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#1

Έστω

οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x-1=0

.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω οι ρίζες της εξίσωσης .
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

Θέτουμε $t= \dfrac {1-x}{1+x}\,(*)$ , όπου

ρίζα της δοθείσας τριτοβάθμιας. Λύνοντας την (*)

ως προς

θα βρούμε $x= \dfrac {1-t}{1+t}$ , οπότε θέτοντας στην τριτοβάθμια ισχύει

$\displaystyle{\left ( \dfrac {1-t}{1+t}\right )^3- \dfrac {1+t}{1-t} -1 =0}$

Πολλαπλασιάζοντας επί (1-t)^3

θα βρούμε μετά τις πράξεις t^3-t^2+7t+1=0

. Από Vieta το άθροισμα των ριζών της τελευατίας είναι

. Αλλά από την (*)

οι ρίζες της τελευταίας είναι οι $\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}, \, \dfrac {1-b}{1+b},\, \dfrac {1-c}{1+c}}$ . Συνεπώς

$\displaystyle{ \dfrac {1-a}{1+a}+ \dfrac {1-b}{1+b}+ \dfrac {1-c}{1+c}=1}$

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω οι ρίζες της εξίσωσης .
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

Λίγο διαφορετικά.

Η παράσταση

είναι ίση με $A=-3+2\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right) = -3+2\dfrac{(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ .

Αφού P(x)=x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c)

άρα

οπότε

$A=-3+2\left[3+2(a+b+c)+ab+bc+ca\right]=-3+2\left(3+2\cdot 0 -1)=1$

όπου με τη βοήθεια των τύπων Vieta βρήκαμε ότι a+b+c=0

και

.

Αλέξανδρος

#4

Θα μπορούσαμε να λύσουμε την άσκηση χωρίς απολύτως κανένα τέχνασμα αλλά οι πράξεις είναι λίγο παραπάνω (όχι όμως απαγορευτικές). Απλά, προσθέτοντας τα κλάσματα, θα βρούμε ότι η δοθείσα παράσταση ισούται με

$\displaystyle{\dfrac {-3abc-(ab+ac+bc)+(a+b+c)+3}{abc+(ab+ac+bc)+(a+b+c)+1}}$

το οποίο είναι έτοιμα για Vieta. Και λοιπά.

STOPJOHN · #5

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω οι ρίζες της εξίσωσης .
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$

Θέτουμε

΄Αρα $a=t-1,(t-1)^{3}=t\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+2t-1=0,(*)$

Οπότε η παράσταση γράφεται

$\dfrac{2-t}{t}+\dfrac{2-w}{w}+\dfrac{2-u}{u}= 2(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{u})-3= 2.\dfrac{wu+tu+tw}{twu}-3=2.\dfrac{2}{1}-3=1$

στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι Vietta

για την εξίσωση

$x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$ με ρίζες t,w,u

#6

Διαφορετικά:

Παρατηρώ ότι $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{a^3} = 1 - \frac{2}{a^2}$

Έχουμε 1 = a^3 - a

, άρα $\displaystyle \frac{1}{a} = a^2 - 1$ και $\displaystyle \frac{1}{a^2} = a - \frac{1}{a} = a-a^2+1$

Άρα

$\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - 2(a - a^2 + 1) = 2a^2 - 2a-1$

Η ζητούμενη παράσταση ισούται με

$\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2) - 2(a+b+c) - 3 = 2[(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)] - 2(a+b+c) - 3 = 2[0+2]-0-3=1$

S.E.Louridas · #7

Και μόνο για πλουραλισμό, την παρέα, και το χιόνι εδώ στο κλεινόν άστυ:

$\displaystyle{\sum {\frac{{1 - a}}{{1 + a}}} = \frac{3}{{abc}} + \left( {\sum {\frac{1}{a}} } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{{a^2}}}} - \sum {\frac{1}{{ab}}} } \right) - \sum {\frac{1}{{{a^2}}}} =$ $\displaystyle{3 - \frac{{{{\left( {\sum {ab} } \right)}^2} - 2abc\sum a }}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} + \frac{{\sum a }}{{abc}} - \frac{{{{\left( {\sum {ab} } \right)}^2} - 2abc\sum a }}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} = 3 - 2 = 1.}$

Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Μέλη σε σύνδεση