Εμβαδόν τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Εμβαδόν τετραπλεύρου.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Χορδή

, έχει τα άκρα της σε ημικύκλιο , διαμέτρου AB=2R

. Οι

τέμνονται στο

, ενώ οι εφαπτόμενες στα M , N

, τέμνονται στο

.

α) Υπολογίστε το

... β) Υπολογίστε το (MTNS)

, όταν το

είναι το μέσο του ημικυκλίου .

Αναλογισθείτε αν μπορεί να λυθεί το δεύτερο ερώτημα χωρίς αξιοποίηση του πρώτου .

#2

: εμβαδόν τετραπλεύρου KARKAR_26_1_2021.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Για το 1ο

$TS = TM = TN = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}$ αφού $TS \bot AB$

( βλέπε και το θέμα «καθετότητα με συνέχεια») δηλαδή αυτό

ή και το δικό σου : αυτό

Για το 2ο

Όλα γίνονται αλλά με περισσή ταλαιπωρία

: εμβαδόν τετραπλεύρου KARKAR_26_1_2021_b.png (37.76 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

$\boxed{MT = \frac{R}{{\sqrt 3 }},MG = \frac{R}{2},{N_1} = \frac{{{R^2}}}{{4\sqrt 3 }}}\,\,\left( 1 \right)$

$\boxed{MJ = \frac{R}{{\sqrt 2 }}\,\,,JS = \frac{{\sqrt R }}{{\sqrt 6 }}\,\,,\,\,SN = \frac{R}{{\sqrt 2 }} - \frac{R}{{\sqrt 6 }} = \frac{{R\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 3 }},\,{N_2} = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{4\sqrt 6 }}}\,\,\left( 2 \right)$

Άρα, $\boxed{\left( {MTNS} \right) = {N_1} + {N_2} = \frac{{{R^2}}}{4}}$

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 26, 2021 1:02 pm
εμβαδόν τετραπλεύρου KARKAR_26_1_2021.png

Για το 1ο

$TS = TM = TN = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}$ αφού $TS \bot AB$

( βλέπε και το θέμα «καθετότητα με συνέχεια») δηλαδή αυτό

ή και το δικό σου : αυτό

Ας προσθέσω ότι μερικές ιδιότητες του παραπάνω σχήματος υπάρχουν ήδη στις Προτάσεις

και

στο Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη.

Είχα αναφερθεί σε αυτές στην ομιλία μου "Ξεχασμένα και χαμένα θεωρήματα από τα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά" , που έκανα στο Β' Συνέδριο Γεωμετρίας στο Ηράκλειο, και αλλού.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 26, 2021 10:29 am
Εμβαδόν τετραπλεύρου.pngΧορδή , έχει τα άκρα της σε ημικύκλιο , διαμέτρου . Οι

τέμνονται στο , ενώ οι εφαπτόμενες στα , τέμνονται στο .

α) Υπολογίστε το ... β) Υπολογίστε το , όταν το είναι το μέσο του ημικυκλίου .

Αναλογισθείτε αν μπορεί να λυθεί το δεύτερο ερώτημα χωρίς αξιοποίηση του πρώτου .

1.Από την ισότητα των κόκκινων γωνιών και των πράσινων ,θα είναι

εφαπτόμενη του κύκλου (P,M,S,N)

(άρα και η

) και $OM \bot TM$ άρα

είναι το κέντρο του

Επειδή $\angle MTN=120 ^0$ και MN=R

ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο MTN

δίνει $TM=TN=TS= \dfrac{R \sqrt{3} }{3}$

2.Έστω

μέσον του ημικυκλίου.Επειδή $\dfrac{MT}{R}= \dfrac{ \sqrt{3} }{3}$ έχουμε

$\dfrac{(MTN)}{(MON)} = \dfrac{TK}{KO}=( \dfrac{MT}{MO} ) ^2= \dfrac{1}{3} \Rightarrow (MTN)= \dfrac{R^2 \sqrt{3} }{12}$

$tan30^0= \dfrac{ \sqrt{3} }{3}= \dfrac{MS}{MA}= \dfrac{MS}{R \sqrt{2} } \Rightarrow MS= \dfrac{R \sqrt{2} \sqrt{3} }{3} \Rightarrow \dfrac{MS}{R} = \dfrac{ \sqrt{2} \sqrt{3} }{3}$

Με ν.συν/νου στο τρίγωνο NOB

παίρνουμε $NB=R \sqrt{2- \sqrt{3} }$ κι από

$tan30^0= \dfrac{SN}{NB} = \dfrac{ \sqrt{3} }{3}$ έχουμε $\dfrac{SN}{R}= \dfrac{ \sqrt{3} }{3} \sqrt{2- \sqrt{3} }$

Στα τρίγωνα MON,MSN

είναι $\angle MON=60^0 , \angle MSN=120^0$ άρα

$\dfrac{(MSN)}{(MON)}= \dfrac{MS}{R} . \dfrac{NS}{R} =.. \dfrac{ \sqrt{3}-1 }{3} \Rightarrow (MSN)= \dfrac{ \sqrt{3}-1 }{3} . \dfrac{R^2 \sqrt{3} }{4}$

Τώρα, $(MTNS)=(MTN)+(NMS)= \frac{R^2 \sqrt{3} }{12} + \dfrac{ \sqrt{3}-1 }{3} . \dfrac{R^2 \sqrt{3} }{4} \Rightarrow (MTNS)= \dfrac{R^2}{4}$

: εμβαδόν τετραπλεύρου.png (46.88 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

KARKAR · #5

: Εμβαδόν τετραπλεύρου.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Αξιοποιώντας το αποτέλεσμα του πρώτου ερωτήματος ( $TS=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ ) , έχω :

$(MTNS)=\dfrac{1}{2}\cdot MN\cdot TS\cdot \sin60^0=\dfrac{1}{2}R\dfrac{R}{\sqrt{3}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{R^2}{4}$

Εμβαδόν τετραπλεύρου

Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση