Διπλάσια γωνία 15

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 15.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

Η βάση

του τριγώνου ABC

είναι σταθερή , ενώ η κορυφή

δημιουργείται σχηματίζοντας

γωνίες $\widehat{C}=\theta$ και $\widehat{B}=2\theta$ . α) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του

δεν είναι υπερβολή .

β) Βρείτε το σημείο

στην περίπτωση εκφυλισμού του τριγώνου .

γ) Βρείτε μια υπερβολή που να "προσεγγίζει" ικανοποιητικά τον γεωμετρικό τόπο , δηλαδή να υπάρχει

σημείο

μέσα στο τετράγωνο με βάση

, ώστε το σημείο

να ανήκει και στις δύο γραμμές .

Διευκόλυνση : Εργαστείτε με συντεταγμένες και μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 04, 2021 9:04 pm
Διπλάσια γωνία 15.pngΗ βάση του τριγώνου είναι σταθερή , ενώ η κορυφή δημιουργείται σχηματίζοντας

γωνίες $\widehat{C}=\theta$ και $\widehat{B}=2\theta$ . α) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του δεν είναι υπερβολή .

β) Βρείτε το σημείο στην περίπτωση εκφυλισμού του τριγώνου .

γ) Βρείτε μια υπερβολή που να "προσεγγίζει" ικανοποιητικά τον γεωμετρικό τόπο , δηλαδή να υπάρχει

σημείο μέσα στο τετράγωνο με βάση , ώστε το σημείο να ανήκει και στις δύο γραμμές .

Διευκόλυνση : Εργαστείτε με συντεταγμένες και μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο .

Με

και

είναι $\tan \theta = \dfrac {y}{c-x}. \,\tan 2\theta = \dfrac {y}{x+c}$ . Με χρήση της ταυτότητας $\tan 2\theta = \dfrac {2\tan \theta}{1-\tan ^2 \theta }$ και αντικατασταση από τα προηγούμενα θα βρούμε (ελπίζω να μην έκανα λάθος πράξεις)

$3\left (x- \dfrac {c}{3} \right )^2 -y^2= \dfrac {4c^2}{3}$

Υπερβολή την βλέπω...

Υπερβάλω άραγε ή έκανα λάθος πράξεις;

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 04, 2021 9:04 pm
Διπλάσια γωνία 15.pngΗ βάση του τριγώνου είναι σταθερή , ενώ η κορυφή δημιουργείται σχηματίζοντας

γωνίες $\widehat{C}=\theta$ και $\widehat{B}=2\theta$ . α) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του δεν είναι υπερβολή .

β) Βρείτε το σημείο στην περίπτωση εκφυλισμού του τριγώνου .

γ) Βρείτε μια υπερβολή που να "προσεγγίζει" ικανοποιητικά τον γεωμετρικό τόπο , δηλαδή να υπάρχει

σημείο μέσα στο τετράγωνο με βάση , ώστε το σημείο να ανήκει και στις δύο γραμμές .

Διευκόλυνση : Εργαστείτε με συντεταγμένες και μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο .

: Διπλάσια γωνία 15.png (25.84 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

Έχετε δίκιο Κ. Λάμπρου.

Επιλέγω $B\left( { - 4a,0} \right)\,\,,\,\,C\left( {2a,0} \right)\,\,a > 0$ . Ας είναι $\tan \omega = k$ , τότε $\boxed{\tan 2\theta = \frac{{2k}}{{{k^2} - 1}}}$ .

Το $A\left( {x,y} \right)$ επαληθεύει τις ευθείες με εξισώσεις: $\left\{ \begin{gathered} y = k\left( {x - 2a} \right) \hfill \\ y = \frac{{2k}}{{{k^2} - 1}}\left( {x + 4a} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Διώχνω την παράμετρο

κι έχω:

$\boxed{\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {2\sqrt 3 a} \right)}^2}}} = 1}$ ,(αριστερή εστία είναι το

)

Για

έχω: $3{x^2} - {y^2} = 12$

: Διπλάσια γωνία 15_Εφαρμογή.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

KARKAR · #4

Ευτυχώς που η άσκηση είναι σ' αυτόν τον φάκελο , οπότε διασκέδασα το - ασυγχώρητο ! - λάθος μου

( Συγγνωστό λάθος έχει και η λύση του Μιχάλη , το

πρέπει να είναι

)

Ο προσεκτικός αναγνώστης θα δει και την αιτία του λάθους : Ο μεν Μιχάλης παίρνει τα B, C

συμμετρικά

ως προς

και καταλήγει σε τύπο της μορφής : $\dfrac{(x-m)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ,

που δεν είναι η συνήθης ( σχολική ) μορφή , ο δε Νίκος παίρνει εξ' αρχής τα B ,C

μη συμμετρικά

ως προς

, που επίσης είναι μια ασυνήθης (για τα σχολικά μαθηματικά πάντα ) πρακτική

Κάτι ακόμη : Ξεκίνησα να δημιουργώ το θέμα αξιοποιώντας την σχέση : b^2=c^2+ac

, κάτι

που δίνει και τον περιορισμό : $b>\dfrac{2a}{3}$ καθώς και την θέση του σημείου

. Έχει ενδιαφέρον !

nickchalkida · #5

Κατόπιν της όμορφης ανάλυσης που έκαναν οι συνάδελφοι,
να δώσω ακόμα μία Geogebra κατασκευή της εν λόγω υπερβολής,
και να παρατηρήσω ότι φέρνοντας τον περιγεγραμμένο κύκλο,
μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να τριχοτομήσουμε την γωνία $\widehat{A}$ .

#6

nickchalkida έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 05, 2021 1:48 pm
να δώσω ακόμα μία Geogebra κατασκευή της εν λόγω υπερβολής,
και να παρατηρήσω ότι φέρνοντας τον περιγεγραμμένο κύκλο,
μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να τριχοτομήσουμε την γωνία $\widehat{A}$ .

Πολύ ενδιαφέρον.

Στα αρχαία Μαθηματικά υπάρχουν διάφορες κατασκευές τριχοτόμησης γωνίας με χρήση κωνικών (οι λεγόμενες
"στερεές κατασκευές" κατά τον Πάππο) ή με άλλες καμπύλες (οι λεγόμενες "γραμμικές κατασκευές" κατά τον Πάππο).

Η παραπάνω μου είναι νέα, τουλάχιστον όπως την βλέπω από μνήμης.

Ευχαριστούμε Νίκο.

#7

: 0000001-100.jpg (447.18 KiB) Προβλήθηκε 1138 φορές

Μπήκα στο πειρασμό και ανέβασα ( "παράνομα" ) φωτοτυπία την λύση της άσκησης όπως την είχα γράψει με πολυτονικό ! πριν

και έτη !

Τότε με βοηθούσαν πολύ καλλίτερα το μυαλό και τα μάτια μου.

Διπλάσια γωνία 15

Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Re: Διπλάσια γωνία 15

Μέλη σε σύνδεση