Μοναδική λύση

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Για κάποια $a,b\in \mathbb{R}$ με $a\neq 1$ δίνεται μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί την σχέση f(f(x))=ax+b

για κάθε πραγματικό

. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x

έχει μοναδική λύση.

llenny · #2

Έστω $x_1 \not= x_2$ έτσι ώστε f(x_1) = x_1

και

. Από τη σχέση: f(f(x)) = ax + b

έχουμε: $f(f(x_1)) = f(x_1) = x_1 = ax_1 + b \Leftrightarrow x_1(a - 1) = -b$ και αντίστοιχα: $x_2 = ax_2 + b \Leftrightarrow -x_2(a - 1) = b$ Αφού $a \not= 1$ , προθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις που έχουμε και παίρνουμε: $(x_1 - x_2)(a - 1) = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ . Άτοπο. Άρα η εξίσωση: f(x) = x

έχει μοναδική λύση.

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:38 am
Για κάποια $a,b\in \mathbb{R}$ με $a\neq 1$ δίνεται μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί την σχέση για κάθε πραγματικό . Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

Μπορούμε να το βελτιώσουμε, χωρίς δυσκολία.

Την μοναδική αυτή λύση μπορούμε να την βρούμε. Είναι η $x= \dfrac {b}{1-a}$ . To αφήνω ως ωραία ασκησούλα.

llenny · #4

Αφού ξέρουμε ότι η λύση είναι μοναδική, θα δείξουμε ότι είναι αυτής της μορφής. Έχουμε: $f(f(\frac{b}{1 - a})) = f(\frac{b}{1 - a}) = \frac{b}{1 - a}.$
Αρκεί λοιπόν: $\frac{b}{1 - a} = \frac{ab}{1 - a} + \frac{b - ab}{1 - a} \Leftrightarrow \frac{b}{1 - a} = \frac{b}{1 - a} \Leftrightarrow 0 = 0$ που προφανώς ισχύει, άρα οι λύσεις είναι αποκλειστικά της μορφής αυτής για κάθε a ,b

με

διάφορο του 1. Λάθος.

#5

llenny έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:25 am
Αφού ξέρουμε ότι η λύση είναι μοναδική, θα δείξουμε ότι είναι αυτής της μορφής. Έχουμε: $f(f(\frac{b}{1 - a})) = f(\frac{b}{1 - a}) = \frac{b}{1 - a}.$
Αρκεί λοιπόν: $\frac{b}{1 - a} = \frac{ab}{1 - a} + \frac{b - ab}{1 - a} \Leftrightarrow \frac{b}{1 - a} = \frac{b}{1 - a} \Leftrightarrow 0 = 0$ που προφανώς ισχύει, άρα οι λύσεις είναι αποκλειστικά της μορφής αυτής για κάθε με διάφορο του 1.

Νομίζω ότι δεν απαντάς σωστά εκτός αν δεν βλέπω κάτι (είμαι έτοιμος για ύπνο μετά από κουραστική μέρα). Συγκεκριμένα,
ξέρουμε ότι αν υπάρχει λύση, τότε είναι μοναδική. Όμως το ερώτημα είναι αν πράγματι υπάρχει. Αυτό δεν το ξέρουμε, αλλά είναι το ζητούμενο του ερωτήματός μου.

llenny · #6

Αν δε χάνω κι εγώ κάτι νομίζω πως έχετε δίκιο. Έχουμε λοιπόν: $f(x) = x \Leftrightarrow f(x) = ax + b \Leftrightarrow x = ax + b \Leftrightarrow (a - 1)x + b = 0$ Θέτουμε g(x) = (a - 1)x +b

. Αν

είναι $lim_{x\to\infty}g(x) = \infty$ και $lim_{x\to-\infty}g(x) = -\infty$ . Αν a<1

είναι
$lim_{x\to\infty}g(x) = -\infty$ και $lim_{x\to-\infty}g(x) = \infty$ . Και στις δύο περιπτώσεις απο Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία λύση. Επίσης επειδή η g(x)

είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα, έχουμε άλλη μία απόδειξη για τη μοναδικότητα της λύσης. Ξέρουμε και τη μορφή της οπότε υποθέτω πως δε μένει κάτι άλλο αν δε χάνω κάτι

. Έχει λάθη.

#7

llenny έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:49 am
Αν δε χάνω κι εγώ κάτι νομίζω πως έχετε δίκιο. Έχουμε λοιπόν: $f(x) = x \Leftrightarrow f(x) = ax + b \Leftrightarrow x = ax + b \Leftrightarrow (a - 1)x + b = 0$ Θέτουμε . Αν είναι $lim_{x\to\infty}g(x) = \infty$ και $lim_{x\to-\infty}g(x) = -\infty$ . Αν είναι
$lim_{x\to\infty}g(x) = -\infty$ και $lim_{x\to-\infty}g(x) = \infty$ . Και στις δύο περιπτώσεις απο Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία λύση. Επίσης επειδή η είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα, έχουμε άλλη μία απόδειξη για τη μοναδικότητα της λύσης. Ξέρουμε και τη μορφή της οπότε υποθέτω πως δε μένει κάτι άλλο αν δε χάνω κάτι .

llenny, Καλημέρα.

Νομίζω ότι έχει διάφορα προβλήματα η λύση. Ίσως χάνω κάτι γιατί μόλις ξύπνησα (ή μάλλον, ακόμη δεν... καλοξύπνησα).

Πρώτον, ξεκινάς με υπόθεση ότι η

είναι λύση. Αυτό φαίνεται στο επόμενο βήμα όπου πήρες (χωρίς να σημειώνεται αλλά το βλέπουμε) ότι θα έχουμε τότε f(f(x))=f(x)

, άρα

και άρα

. Άρα η απόδειξη της ύπαρξης μένει αναπάντητη.

Δεύτερον, παίρνεις όριο $x\to \pm \infty$ . Μα το

ως στεθερό (δηλαδή η λύση) δεν κουνιέται. Είναι δεδομένο. Είναι σαν να λες "παίρνω το όριο $2021 \to \pm \infty$ .

Κάνεις μία ολόκληρη μανούβρα μέσω Bolzano για να δείξεις ότι η (a-1)x+b

μηδενίζεται κάπου. Μα αυτή είναι πρωτοβάθμια με $a\ne 1$ , οπότε φυσικά μηδενίζεται κάπου. Δεν χρειάζεται Bolzano! Είναι σαν να λες ότι η εξίσωση 10x-20=0

έχει ρίζα λόγω Bolzano. Σωστό, αλλά δεν χρειάζεται Bolzano γι' αυτήν την εξίσωση. Μπορούμε τα την λύσουμε απευθείας με γνώσεις πολύύύ πριν μάθουμε Bolzano.

Για να καταλήξω: Το θέμα είναι ακόμη ανοικτό. Ευπρόσδεκτοι όλοι οι λύτες.

Tolaso J Kos · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:14 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:38 am
Για κάποια $a,b\in \mathbb{R}$ με $a\neq 1$ δίνεται μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί την σχέση

$\displaystyle{f(f(x))=ax+b \quad \text{\gr για κάθε πραγματικό} \;\; x \quad \quad (1)}$

Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση.
Μπορούμε να το βελτιώσουμε, χωρίς δυσκολία.

Την μοναδική αυτή λύση μπορούμε να την βρούμε. Είναι η $x= \dfrac {b}{1-a}$ . To αφήνω ως ωραία ασκησούλα.

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω x_0

η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για x=x_0

η

δίδει

$\displaystyle{\begin{aligned} f \left ( f(x_0) \right ) = a x_0 + b &\Rightarrow f \left ( x_0 \right ) = ax_0 + b \\ &\Rightarrow x_0 = a x_0 + b \\ &\Rightarrow x_0 - a x_0 = b \\ &\Rightarrow x_0 \left ( 1 - a \right ) = b \\ &\overset{a \neq 1}{\Rightarrow} x_0 = \frac{b}{1-a} \end{aligned}}$

#9

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:05 pm

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για η δίδει

Όχι βέβαια. Εδώ επαναλαμβάνεις το λογικό σφάλμα που ανέφερα, ότι δηλαδή αν ξέρουμε ότι έχει ρίζα, τότε είναι μοναδική. Το ερώτημα είναι να την βρούμε.

Μου κάνει εντύπωση που κολλάμε, αφού έχω ήδη γράψει ποια είναι η ρίζα. Δεν έχουμε παρά μόνο να την επαληθεύσουμε. Η επαλήθευση κινείται

% στο ίδιο μήκος κύματος με τα ήδη γραμμένα, αλλά θέλει ένα ακόμη βηματάκι.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 27, 2020 10:39 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:05 pm

Νομίζω κάπως έτσι. Έστω η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Για η δίδει

Όχι βέβαια. Εδώ επαναλαμβάνεις το λογικό σφάλμα που ανέφερα, ότι δηλαδή αν ξέρουμε ότι έχει ρίζα, τότε είναι μοναδική. Το ερώτημα είναι να την βρούμε.

Μου κάνει εντύπωση που κολλάμε, αφού έχω ήδη γράψει ποια είναι η ρίζα. Δεν έχουμε παρά μόνο να την επαληθεύσουμε. Η επαλήθευση κινείται % στο ίδιο μήκος κύματος με τα ήδη γραμμένα, αλλά θέλει ένα ακόμη βηματάκι.

...Χρόνια Πολλά

ας κάνουμε ένα βηματάκι... ελπίζω να είναι αυτό που λέει ο Μιχάλης...

Είναι f(f(x))=ax+b

άρα και $f(f(f(x)))=af(x)+b,\,\,x\in R$ (1)

Τώρα για

τον αριθμό $\kappa =\frac{b}{1-a}$ έχουμε ότι ισχύει $f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}$

δηλαδή για τον αριθμό $\kappa =\frac{b}{1-a}$ ισχύει $f(f(\kappa ))=\kappa$ οπότε στην (1) θα ισχύει ότι

$f(f(f(\kappa )))=af(\kappa )+b\Rightarrow f(\kappa )=af(\kappa )+b\Leftrightarrow f(k)=\frac{b}{1-a}=\kappa$

που σημαίνει ότι ο αριθμός $\kappa =\frac{b}{1-a}$ είναι ρίζα της f(x)=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#11

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 12:56 am

...Χρόνια Πολλά ας κάνουμε ένα βηματάκι... ελπίζω να είναι αυτό που λέει ο Μιχάλης...

Είναι άρα και $f(f(f(x)))=af(x)+b,\,\,x\in R$ (1)

Τώρα για τον αριθμό $\kappa =\frac{b}{1-a}$ έχουμε ότι ισχύει $f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}$

δηλαδή για τον αριθμό $\kappa =\frac{b}{1-a}$ ισχύει $f(f(\kappa ))=\kappa$ οπότε στην (1) θα ισχύει ότι

$f(f(f(\kappa )))=af(\kappa )+b\Rightarrow f(\kappa )=af(\kappa )+b\Leftrightarrow f(k)=\frac{b}{1-a}=\kappa$

που σημαίνει ότι ο αριθμός $\kappa =\frac{b}{1-a}$ είναι ρίζα της

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ακριβώς.

Για όφελος των μαθητών ας συνοψίσουμε: Από την ιδιότητα της fof

βλέπουμε $f(f(\frac{b}{1-a}))=a\frac{b}{1-a}+b=\frac{b}{1-a}$ . Την κτυπάμε με

, οπότε $f(f(f(\frac{b}{1-a})))=f(\frac{b}{1-a})$ . Άρα, ξανά από την ιδιότητα της fof

, έχουμε

$af(\frac{b}{1-a}) +b = f(\frac{b}{1-a})$ από όπου λύνοντας ως προς την $f(\frac{b}{1-a})$ λαμβάνουμε $f(\frac{b}{1-a})= \frac{b}{1-a}$ . Δηλαδή βρήκαμε μία ρίζα της f(x)=x

, την $\frac{b}{1-a}$

Μοναδική λύση

Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Re: Μοναδική λύση

Μέλη σε σύνδεση