Διανυσματικός λογισμός

KARKAR · #1

: Διανυσματικός λογισμός.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

$\bigstar$ Στο σχήμα της άσκησης : Α) Υπολογίστε :

α) Την γωνία $\hat{A}$ ... β) την $\tan\hat{C}$ ... γ) το (ABC)

.

Β) Βρείτε το ορθόκεντρο

του τριγώνου ABC

.

StamatisGoudis · #2

Έστω $\vec{BC}=\vec{a}, \vec{AC}=\vec{b}, \vec{AB}=\vec{c}$
Α. α) Είναι: $\vec{c} \cdot \vec{b} = \mid \vec{c} \mid \mid \vec{b} \mid \cos{A} = (-1,-5)(6, -9) \Rightarrow \sqrt{26} \times 3\sqrt{13}\cos{A} = -6 + 45 \Rightarrow \cos{A} = \sqrt{2}/2 \Rightarrow \angle{A} = \frac{\pi}{4}$

β) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \mid \vec{a} \mid \mid \vec{b} \mid \cos{C} = (7, -4)(6, -9) \Rightarrow \sqrt{65} \times 3\sqrt{13} \cos{C} = 42 + 36 \Rightarrow \cos{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Άρα: $\sec^{2}{C} = \frac{5}{4} \Rightarrow \tan^{2}{C} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \Rightarrow \tan{C} = 1/2$

γ) $(ABC) = \frac{1}{2} \mid det(\vec{AB}, \vec{AC}) \mid = \frac{1}{2}(9+30) = 39/2$

Β. Έστω H(x, y)

το ορθοκεντρο
Επειδή $\vec{AH} \perp \vec{a}: \vec{AH} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow (x+1, y-6)(7, -4)=0 \Rightarrow 7(x+1) - 4(y-6)=0 (1)$
Ακόμη, επειδή $\vec{BH} \perp \vec{b}: \vec{BH} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow (x+2, y-1)(6, -9)=0 \Rightarrow 6(x+2) - 9(y-1)= 0 (2)$

Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (1)

και

προκύπτει: x=-5, y=-1

Συνεπώς, το ορθοκεντρο του $\Delta ABC$ είναι το: H(-5, -1)

(Υπάρχει επιφύλαξη ως προς τις αλγεβρικές πράξεις)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 22, 2020 8:49 am
Διανυσματικός λογισμός.png $\bigstar$ Στο σχήμα της άσκησης : Α) Υπολογίστε :

α) Την γωνία $\hat{A}$ ... β) την $\tan\hat{C}$ ... γ) το .

Β) Βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου .

: Διαν. λογισμός.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Α) Είναι $\displaystyle AB = \sqrt {26} ,AC = \sqrt {117} ,BC = \sqrt {65}$ και με νόμο συνημιτόνων:

α) $\displaystyle 65 = 143 - 2\sqrt {26} \sqrt {117} \cos A \Leftrightarrow \cos A = \frac{{78}}{{2 \cdot 3\sqrt {13} \cdot \sqrt {13} \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=45^\circ}$

β) $\displaystyle 26 = 182 - 2 \cdot 3\sqrt {13} \cdot \sqrt {15} \sqrt 3 \cos C \Leftrightarrow \cos C = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ και $\boxed{\tan C = \frac{1}{2}}$

γ) $\displaystyle {h_b} = d(B,AC) = \frac{{|3( - 2) + 2 \cdot 1 - 9|}}{{\sqrt {13} }} = \sqrt {13} \Rightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{{b \cdot {h_b}}}{2} = \frac{{39}}{2}}$

Β) Τα ύψη από τις κορυφές B, C

έχουν εξισώσεις: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y + 7 = 0\\ x + 5y + 10 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow (x = - 5,y = - 1)$

Άρα το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι $\boxed{H(-5,-1)}$

Διανυσματικός λογισμός

Διανυσματικός λογισμός

Re: Διανυσματικός λογισμός

Re: Διανυσματικός λογισμός

Μέλη σε σύνδεση