Άσκηση με διανύσματα

Katerinalyr · #1

Γειά σας, είναι η πρώτη φορά που γράφω στο forum και αιτία είναι μια άσκηση που μας έβαλε η καθηγήτριά μας στο σχολείο.

Λέει:
Δίνονται τα διανύσματα $\vec{OA} = \vec{a}$ , $\vec{OB} = \vec{\beta}$ , $\vec{O \Gamma } = \vec{\gamma}$ τέτοια ώστε
$|\vec{ \beta}|=|\vec{\gamma}|$ , $|\vec{a}|=\sqrt{3}-1$ και $(\sqrt{3}+1) \vec{a}=\sqrt{3} \vec{\beta}+\vec{\gamma}$

A) Να δείξετε οτι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

Την προσπάθησα λίγο χωρίς να ξέρω πως να φτάσω στο ζητούμενο. Δηλαδή πήρα την τελευταία σχέση και δημιούργησα τρία εσωτερικά γινόμενα, μια με το α, μια με το β και μια με το γ διάνυσμα. Και κει εμφανίζονται οι γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων οι οποίες δεν ξέρω σε τι θα με βοηθήσουν για να δείξω οτι τα Α.Β.Γ είναι συνευθειακά.

Μήπως θα ήταν εύκολο να μου πείτε κάποια υπόδειξη;

Ευχαριστώ πολύ

#2

Katerinalyr έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 21, 2020 8:21 pm
Γειά σας, είναι η πρώτη φορά που γράφω στο forum και αιτία είναι μια άσκηση που μας έβαλε η καθηγήτριά μας στο σχολείο.

Λέει:
Δίνονται τα διανύσματα $\vec{OA} = \vec{a}$ , $\vec{OB} = \vec{\beta}$ , $\vec{O \Gamma } = \vec{\gamma}$ τέτοια ώστε
$|\vec{ \beta}|=|\vec{\gamma}|$ , $|\vec{a}|=\sqrt{3}-1$ και $(\sqrt{3}+1) \vec{a}=\sqrt{3} \vec{\beta}+\vec{\gamma}$

A) Να δείξετε οτι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

Την προσπάθησα λίγο χωρίς να ξέρω πως να φτάσω στο ζητούμενο. Δηλαδή πήρα την τελευταία σχέση και δημιούργησα τρία εσωτερικά γινόμενα, μια με το α, μια με το β και μια με το γ διάνυσμα. Και κει εμφανίζονται οι γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων οι οποίες δεν ξέρω σε τι θα με βοηθήσουν για να δείξω οτι τα Α.Β.Γ είναι συνευθειακά.

Μήπως θα ήταν εύκολο να μου πείτε κάποια υπόδειξη;

Ευχαριστώ πολύ

Κατερίνα, καλώς ήλθες στο

.

Ασφαλώς, μια υπόδειξη θα βοηθήσει περισσότερο από μια έτοιμη απάντηση:
Σκέψου, λοιπόν, τις τεχνικές (μεθόδους) με τις οποίες μπορούμε να αποδείξουμε τη συνευθειακότητα τριών σημείων. Ποια φαίνεται να σε εξυπηρετεί εδώ; Συντεταγμένες δεν έχουμε, μόνο μια σχέση μεταξύ διανυσμάτων. Τα τρία διανύσματα έχουν κοινό σημείο το

. Μήπως να τα γράψουμε στη μορφή $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ Επιμεριστική, ορισμός αφαίρεσης διανυσμάτων..., πότε δυο διανύσματα είναι παράλληλα;

Τα μέτρα τους προφανώς αναφέρονται σε άλλα ερωτήματα, έτσι δεν είναι;

Katerinalyr · #3

ωωω πράγματι, ναι !

Αρκει να δείξω για παράδειγμα οτι $\vec{AC}=k \vec{AB}$ και ξεκίνησα απο το 1ο μέλος και μου βγήκε οτι

$\vec{AC}=- \sqrt{3} \vec{AB}$

Τα άλλα ερωτήματα θα τα προσπαθήσω τώρα και ειναι

Β) Να δείξετε οτι το διάνυσμα $\vec{OB}$ είναι κάθετο στο $\vec{OC}$
γ) Να βρείτε την γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\vec{a} , \vec{\beta}$

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια

Katerinalyr · #4

Έχω γεμίσει κάτι σελίδες πράξεων για το β) ερώτημα.

Αυτό που έκανα είναι να πάρω το εσωτερικό γινόμενο $\beta \cdot \gamma$ και να το βγάλω 0.

$\beta \cdot \gamma= (\vec{OA}+ \vec{AB}) \cdot ( \vec{OA}+ \vec{A \Gamma})$

υπάρχει κάτι πιο γρήγορο;;

#5

Όπως είναι η εκφώνηση, δεν προκύπτει κάτι για το (β) ερώτημα. Πρέπει να υπάρχουν περιορισμοί για τα μέτρα των OB, OC

.

Μήπως δίνει ότι τα μέτρα τους είναι

;

Katerinalyr · #6

Έχετε δίκιο, ειναι και μοναδιαία τα διανύσματα, μας το είπε σήμερα. Δεν υπήρχε στην εκφώνηση.

#7

Όπως, το είχα φανταστεί. Τώρα, το

είναι μεταξύ των B, C

με λόγο $AC/AB = \sqrt{3}$ και προκύπτει(*) ότι $BC = \sqrt{2}$ , άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο....

(*) Το υπολόγισα με αρκετές πράξεις, με τη βοήθεια του Ν. Συνημιτόνων στα OAB, OAC

και αφαιρώντας κατά μέλη. Ίσως να υπάρχει κάτι απλούστερο και ταχύτερο. Πάντως, σωστή είναι η άσκηση με αυτήν την προσθήκη.

Katerinalyr · #8

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ !

Άσκηση με διανύσματα

Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Re: Άσκηση με διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση