Ελάχιστο μήκος

#1

: Ελάχιστο μήκος.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

και ένα σημείο

εσωτερικό του τριγώνου,

ώστε $A\widehat SC=120^\circ.$ Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του BS.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 08, 2020 7:04 pm
Ελάχιστο μήκος.png
Δίνεται τρίγωνο με και ένα σημείο εσωτερικό του τριγώνου,

ώστε $A\widehat SC=120^\circ.$ Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του

Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

εύκολα προκύπτει $\angle B=60^0$

Με

κέντρο του κύκλου με το τόξο του ANC

εύκολα προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο AMK

ότι η ακτίνα του είναι $R= \dfrac{7 \sqrt{3} }{3}$ και το BKAC

είναι εγγράψιμο κι από

Πτολεμαίο παίρνουμε $BK= \dfrac{13 \sqrt{3} }{3}$ ,άρα $BK-R= \dfrac{13 \sqrt{3} }{3}- \dfrac{7 \sqrt{3} }{3}=2 \sqrt{3}$

Είναι γνωστό όμως (Άσκηση σχολικού)ότι η ελάχιστη τιμή του

λαμβάνεται όταν $S \equiv N$ και $BS_{min} =BN=2 \sqrt{3}$

: ελάχιστο μήκος.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

#4

Ο περίκυκλος του ASC

τέμνει την

στο

και έστω

το κέντρο του κύκλου. Το ελάχιστο μήκος

του

επιτυγχάνεται όταν

είναι το πρώτο σημείο τομής του κύκλου με την

. Έστω

: Ελάχιστο μήκος.β.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στα τρίγωνα ABC, AKC

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \widehat B = 60^\circ$ και στη συνέχεια $\displaystyle R = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}.$

Επειδή $\displaystyle A\widehat DC = A\widehat SC = 120^\circ ,$ προκύπτει ότι το ABD

είναι ισόπλευρο, άρα BD=5.

$\displaystyle BS \cdot BP = BD \cdot BC \Leftrightarrow x(x + 2R) = 5 \cdot 8 = 40 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{14\sqrt 3 }}{3}x - 40 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2\sqrt 3}$

Ελάχιστο μήκος

Ελάχιστο μήκος

Re: Ελάχιστο μήκος

Re: Ελάχιστο μήκος

Re: Ελάχιστο μήκος

Μέλη σε σύνδεση