απόσταση ακροτάτων

#1

Έστω $\displaystyle k,m\in R$ με $\displaystyle k\ne 0$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x}$ , $\displaystyle x>0$ και $\displaystyle g(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x},\,\,\,\,x<0$ .

Δείξετε ότι η απόσταση των ολικών ακροτάτων τους είναι $\displaystyle d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}$

#2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 17, 2020 2:26 pm
Έστω $\displaystyle k,m\in R$ με $\displaystyle k\ne 0$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x}$ , $\displaystyle x>0$ και $\displaystyle g(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x},\,\,\,\,x<0$ .

Δείξετε ότι η απόσταση των ολικών ακροτάτων τους είναι $\displaystyle d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}$

$\displaystyle \bullet$ Αν k>0

$\displaystyle f(x) = k\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + m \ge 2k + m$ και έχει ελάχιστο το σημείο A(1,2k+m).

$\displaystyle g(x) = k\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + m \le - 2k + m$ και έχει μέγιστο το σημείο B(-1,-2k+m).

Άρα, $\displaystyle d = (AB) = \sqrt {{2^2} + {{(4k)}^2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}}$

Ανάλογα, αν k<0.

Επεξεργασία: Διέκρινα περιπτώσεις για το πρόσημο του όπως επισημάνθηκε παρακάτω.

Λευτέρης Παπανικολάου · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 17, 2020 5:47 pm

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 17, 2020 2:26 pm
Έστω $\displaystyle k,m\in R$ με $\displaystyle k\ne 0$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x}$ , $\displaystyle x>0$ και $\displaystyle g(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x},\,\,\,\,x<0$ .

Δείξετε ότι η απόσταση των ολικών ακροτάτων τους είναι $\displaystyle d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}$
$\displaystyle f(x) = k\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + m \ge 2k + m$ και έχει ελάχιστο το σημείο

$\displaystyle g(x) = k\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + m \le - 2k + m$ και έχει μέγιστο το σημείο

Άρα, $\displaystyle d = (AB) = \sqrt {{2^2} + {{(4k)}^2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}}$

Γεια σας, νομίζω ότι θα πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις για την παράμετρο κ. Προφανώς, η απάντησή σας ισχύει εφόσον ο κ είναι θετικός.

#4

Σωστά. Αυτά ισχύουν για k>0

(για κάποιο λόγο είχα την εντύπωση πως είχε δοθεί k>0

). Αν

αλλάζουν
οι φορές των ανισώσεων και εναλλάσσονται τα μέγιστα με τα ελάχιστα. Ωστόσο, το τελικό αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

απόσταση ακροτάτων

απόσταση ακροτάτων

Re: απόσταση ακροτάτων

Re: απόσταση ακροτάτων

Re: απόσταση ακροτάτων

Μέλη σε σύνδεση