Τι δουλειά έχει εδώ ο Fermat;

#1

Δίνεται η $f(x)= \dfrac {2020} {2020x+1}+ \dfrac {2347} {2347x+1}+ \dfrac {-2571} {-2571x+1}$ .

Εξετάστε χωρίς κομπιουτεράκι αν κάποιο από τια $f^{(17)}(0),\, f^{(19)}(0),\, f^{(21)}(0)$ είναι ίσο με μηδέν (το σύμβολο εννοεί παραγώγο).

Βέβαια, πρέπει να αιτιολογήσετε και τον τίτλο.

Μάρκος Βασίλης · #2

Αρχικά, παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x+1/2020}+\frac{1}{x+1/2347}+\frac{1}{x-1/2571},}$

οπότε, αφού $\left(\dfrac{1}{x+a}\right)'=-\dfrac{1}{(x+a)^2},$

έπεται ότι:

$\displaystyle{f^{(n)}(x)=(-1)^{n}n!\left(\frac{1}{(x+1/2020)^{n+1}}+\frac{1}{(x+1/2347)^{n+1}}+\frac{1}{(x-1/2571)^{n+1}}\right).}$

Έτσι, έχουμε:

$\displaystyle{f^{(n)}(0)=(-1)^{n}n!(2020^{n+1}+2347^{n+1}+(-2571)^{n+1}),}$

άρα $f(0)=0\Leftrightarrow2020^{n+1}+2347^{n+1}=-(-2571)^{n+1}.$

Για

περιττό το παραπάνω γράφεται:

$\displaystyle{2020^{n+1}+2347^{n+1}=-2571^{n+1},}$

που είναι αδύνατο γιατί το αριστερό μέλος είναι θετικό και το δεξί αρνητικό.

Για

άρτιο, επίσης:

$\displaystyle{2020^{n+1}+2347^{n+1}=2571^{n+1},}$

που είναι αδύνατο για $n\geq2$ , από το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Τι δουλειά έχει εδώ ο Fermat;

Τι δουλειά έχει εδώ ο Fermat;

Re: Τι δουλειά έχει εδώ ο Fermat;

Μέλη σε σύνδεση