Τι είναι το ιδεώδες

[tractatus]

Υπάρχει κάποιος ειδικός στην αλγεβρα να μου εξηγήσει την ιδέα του ιδεώδους; Στοχος της ερώτησης μου είναι να καταλάβω τι σημασία του και τον σκοπό του, δηλαδή που και πως το χρησιμοποιούμε για ποιο λόγο το ορίσαμε , γιατί το ονομάσαμε ιδεώδες ;( Προέρχεται από το ιδεατό; ) Τι σημαίνει με απλά λόγια το ιδεώδες. Επίσης κάτι ποιο ειδικό όταν έχουμε έναν δακτύλιο R και ένα ιδεώδες I και ορίζουμε τον χώρο πηλίκο R/I ποια είναι και πως βρίσκω την τάξη του R/I. Λίγη έρευνα που έκανα στο διαδίκτυο και σε βιβλιογραφία δεν βρήκα απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα.

[stranger]

Η ονομασία ουσιαστικά προέρχεται από τον Kummer που όρισε τους "ideal numbers" στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών. Αργότερα ο Dedekind όρισε την έννοια του ιδεώδους όπως την ξέρουμε σήμερα.
Τα ιδεώδη είναι ακριβώς αυτα που μπορούμε τον δακτύλιο πηλίκο. Η έννοια "δακτύλιος πηλίκο" μας δίνει πολλές πληροφορίες για τους δακτυλίους εξού και η σημασία των ιδεωδών.

[Μάρκος Βασίλης]

Υπάρχει κάποιος ειδικός στην αλγεβρα να μου εξηγήσει την ιδέα του ιδεώδους; Στοχος της ερώτησης μου είναι να καταλάβω τι σημασία του και τον σκοπό του, δηλαδή που και πως το χρησιμοποιούμε για ποιο λόγο το ορίσαμε , γιατί το ονομάσαμε ιδεώδες ;( Προέρχεται από το ιδεατό; ) Τι σημαίνει με απλά λόγια το ιδεώδες. Επίσης κάτι ποιο ειδικό όταν έχουμε έναν δακτύλιο R και ένα ιδεώδες I και ορίζουμε τον χώρο πηλίκο R/I ποια είναι και πως βρίσκω την τάξη του R/I. Λίγη έρευνα που έκανα στο διαδίκτυο και σε βιβλιογραφία δεν βρήκα απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα.

Δεν είμαι ούτε κατά διάνοια ειδικός στην άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι η διαίσθηση πίσω από τα ιδεώδη είναι να γενικεύσουν στους δακτυλίους τα υποσύνολα του συνόλου των ακεραίων. Όπως για κάθε το είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον «εξωτερικό» πολλαπλασιασμό - με άλλα λόγια, περιέχει όλα τα πολλαπλάσια του - έτσι συμβαίνει και με τα ιδεώδη ενός δακτυλίου. Βέβαια, στο όλα του τα ιδεώδη είναι κύρια (δηλαδή, παράγονται από ένα στοιχείο), πράγμα που δεν ισχύει σε κάθε δακτύλιο.

[tractatus]

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας, με βοήθησαν αρκετά να καταλάβω την έννοια του ιδεώδους.